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Problème de géométrie niveau 2nde


bip

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Tout d'abord bonne et heureuse année à vous tous !

Voici mon problème:

AOB est un triangle quelconque. On construit deux triangles AOC et BOD isocèles et rectangles en O. I est le milieu de [CD]. On considère la rotation de centre O d'angle 90° qui transforme B en D. Construire E et J, images respectives de D et I par cette rotation.

Je suis arrivé à faire les 3 premières questions du problème, voici donc les 3 suivantes :

4. Montrer que la droite (OJ) est parallèle à la droite (AB).

5. En déduire que (OI) est perpendiculaire) à la droite (AB).

6. Comparer les aires des triangles OAB et OCD. (On pourra utiliser le triangle OEA).

Merci d'avance de votre aide précieuse. Je dois rendre ce devoir le 6.01.03.

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  • E-Bahut

Salut bip,

il est un peu tard pour te répondre ce soir mais tu auras un réponse, demain (samedi 4) en espérant qu'il ne soit pas trop tard.

Pourrais tu néanmoins me donner l'énoncé complet (les 3 premières questions que tu as déjà résolues)

Merci

JN

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  • E-Bahut

question 3

Montre que O est le milieu de [EB] et que J est le milieu de [EA] puis utilise le théorème des milieux.

question 4.....;utiliser la question 3 et la construction de J.

question 5.

montre que OCD et OEA ont même aire (rotation)

Ensuite tu te places dans le triangle EAB et il te reste à montrer que la médiane (OA) coupe ce triangle en 2 triangles d'aires égales.

Good luck, n'hésite pas à réecrire en cas de pb.

JN

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Salut JN, déjà un grand merci pour ta réponse :D

Je vais potasser tout cela maintenant, mais comme tu me l'as demandé je complète ci-dessous l'énoncé de mon pb

Questions

1. Quelle est l'image de C par cette rotation ?

2. Construire E et J, images respectives de D et I par cette rotation.

3. Montrer que O est le milieu de [bE].

En 3ème nous n'avions plus le temps d'étudier les rotations...%7Boption%7D

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Merci JN de m'avoir donné des indications précieuses. :lol:

Grâce à celles-ci, j'ai pu avancé dans mon travail.

Voici donc mes réponses :

Question 4 :

Montrer que la droite (OJ) est parallèle à la droite (AB).

Les points D, I, C sont alignés dans cet ordre. Par une rotation de 90°, la droite (DC) devient la droite (EA). Le point D est transformé en point E. Le point I est transformé en point J et le point C est transformé en point A. Comme DI = IC, alors EJ = JA. On sait que O est le milieu de EB et que J est le milieu de EA. D'après le théorème des milieux : si O est le milieu de EB et si J est le milieu de EA, alors les droites (OJ) et (AB) sont parallèles entre elles.

Question 5:

En déduire que (OI) est perpendiculaire à la droite (AB).

La droite (OJ) provient d'une rotation de 90° de la droite (OI) donc (OJ) est perpendiculaire à (OI). On sait que la droite (OJ) est parallèle à la droite (AB) par démonstration à la question 4. D'après la définition des droites perpendiculaires et parallèles : si deux droites (AB) et (OJ) sont parallèles entre elles et si une droite (OI) est perpendiculaire à la droite (OJ), alors les droites (OI) et (AB) sont perpendiculaires entre elles.

Question 6:

Comparer les aires des triangles OAB et OCD. On pourra utiliser le triangle OEA.

A toi JN, j'ai utilisé une méthode différente de la tienne mais elle se rapproche énormément. Dis-moi STP ce que tu en penses. Merci.

Par une rotation de 90° le triangle OCD se transforme en un triangle OEA. D'après les propriétés d'une rotation : une rotation conserve les aires, je peux dire que les aires des triangles OCD et OEA sont égales.

On a tracé une hauteur (HA) commune au triangle AOB et au triangle EAB puisque le triangle AOB ne forme qu'une partie du triangle EAB. D'après la formule de l'aire d'un triangle (base x hauteur/deux) on obtient :

Aire EAB = EB x HA/2

Aire AOB = OB x HA/2 et OB = 1/2 de EB (par démonstration à la question 3)

[EB/2 x HA] /2/1 on obtient EB x HA / 2 x 1/2 = EB x HA / 4

C'est ce résultat qui implique que la somme des aires des triangles EOA et AOB est égale à l'aire du triangle EAB. Donc AOB est égale à EOA.

Merci beaucoup de me répondre si mon raisonnement est juste.

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  • E-Bahut

question 4

c'est correct mais la rédaction est un peu maladroite.

On peut dire:

la rotation de centre O qui transforme B en D, transforme D en E, C en A (car..........) et I en J.

I est le milieu de [CD]. Par conservation du milieu on en déduit que J est le milieu de[EA]

Ensuite il faut justifier correctement que O est le milieu de [EB] puis tu peux utiliser le th des milieux.

question 5: correct, vois si tu peux alléger ta rédaction (la droite provient......n'est pas très adapté)

question 6: très bien pour le raisonnement à part la fin que je ne saisis pas vraiement. Tu écris:

[EB/2 x HA] /2/1 on obtient EB x HA / 2 x 1/2 = EB x HA / 4

C'est ce résultat qui implique que la somme des aires des triangles EOA et AOB est égale à l'aire du triangle EAB. Donc AOB est égale à EOA.

en fait ce résultat implique que l'aire de AOB est la moitié de l'aire de EAB. Par conséquent l'aire de EOA est égale à celle de OAB. N'oublie pas de répondre à la question pour conclure.

Beau boulot!!!

Voilà une année qui commence bien.

Embrasse toute la famille pour moi, merci pour la carte, d'autres photos vont suivre d'ici un ou deux jours!!

JN

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JN

Tes conseils m'ont grandement avancés et je t'en remercie. :D

Par ailleurs toute la famille vous embrasse tous les deux et le cadet vous fait un petit coucou. Nous attendons tes impressionantes photos avec impatience... :wink:

@+et bonne année encore

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