Etude De Fonction

[gege76]

Soit la fonction numérique f définie par f(x) = (x² + 3x) / (x² + x + 3) et C sa courbe dans un repère orthonormal du plan (O, i, j).

Unités : 2 cm.

Etude de f :

1.Déterminer son ensemble de définition

la fonction est définie si son dénominateur est différent de 0

x²+x+3=0 n'a pas de racine (delta=-11)

donc il ne s'annule pas

Df = IR

2. Etudier son comportement aux bornes de son ensemble de définition.

l'étude aux bornes ce sont les limites en +oo et - oo. Mais je n'arrive pas à la calculer. J'ai beaucoup de mal avec les limites.

3. Etudier son sens de variations et dresser son tableau de variations.

Je bloque aussi pour cette question

[NicolasHRV]

Salut !

- Pour la première question, c'est OK

- Pour la seconde question, c'est assez simple malgré les apparences.

C'est une limite en l'infini d'une fraction, donc on applique toujours la même méthode :

f(x) = (x² + 3x) / (x² + x + 3)

on factorise par le terme dominant (celui qui a le plus grand exposant). Ainsi, on factorise au numérateur par x² et au dénominateur par x². C'est une simple coincidence que ce soit le même facteur.

ça donne donc : f(x) = (x²/x²) * ( (1 + 3/x) / (1 + 1/x + 3/x²) )

x²/x² = 1 donc f(x) = 1 * (1 + 3/x) / (1 + 1/x + 3/x²)

il est tellement évident que (1 + 3/x) / (1 + 1/x + 3/x²) tend vers 1 vers l'infini (aussi bien vers -oo que +oo ) qu'il n'est pas nécéssaire de le démontrer. D'ailleurs, avec cette méthode, la fraction tend tout le temps vers 1.

limite de 1 (vers l'infini) = 1

limite de (1 + 3/x) / (1 + 1/x + 3/x²) vers l'infini = 1

donc limite de f vers l'infini = 1 * 1 = 1

- Pour étudier son sens de variation, il faut tout d'abord calculer la fonction dérivée f' de f

Vérifie qu'on trouve : f'(x) = (-2x² + 6x + 9) / (x² + x + 3)²

(si tu ne comprends pas comment on trouve ce résultat, poste un message ou mail moi)

Afin de trouver les variations de f, on étudie le signe de f'. En effet :

* quand f est croissant, f' est positif

* quand f est stable, f' est nul

* quand f est décroissant, f' est négatif

(x² + x + 3)² est toujours positif car c'est un carré. f' est donc du signe de (-2x² + 6x + 9). C'est un trinome, on connait donc ses variations.

delta = 108

x1 = ( -6 - sqrt(108) ) / -4 = (-3 - 3sqrt(3) )/ - 2

x2 = ( -6 + sqrt(108) ) / -4 = (-3 + 3sqrt(3) )/ - 2

Et la petite phrase magique à apprendre par coeur : "Le trinôme est du signe de a = -2 donc négatif à l'extérieur des racines"

Et hop ! tu peux faire ton tableau de signes.

Normalement, faut calculer tout même f(x1) et f(x2).

[NicolasHRV]

V'la le tableau de signe que j'ai scanné

[gege76]

Salut

Merci pour ton aide c'est sympa

@++++

[NicolasHRV]

d'rien