Produits Scalaires

[angeldemon3909]

coucou ! alors voila j'ai un dm a faire pr demin mais moi et les produits scalires c'est pas encore trop le point du fait que j'ai pas compris la lecon....

pouvez vous m'aider svp ???

Exercice 1

soient A,B,C trois points du plan.

démontrer la " formule d'Euler" : vecteurMA.vecteurBC + vecteurMB.vecteurCA+ vecteurMC.vecteurAB = 0

Exercice 4

Le plan est muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1cm

on considère le triangle ABC de sommets les points : A(-3:-1) B(5;3) C(6;-4)

1) calculer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC

2) déterminer une équation cartésienne de deux hauteurs ( au choix ) du triangle ABC

en déduire les coordonnées de l'orthocentre H du triangle ABC

3) déterminer une équation cartésienne de deux médiatrices ( au choix ) du triangle ABC

en déduire les coordonnées du centre ohméga du cercle C circonscrit au triangle ABC

4) démontrer que les trois points G, H et ohméga sont alignés ( sur une droite appelée la "droite d'Euler" du triangle)

5) Calculer le rayon R du cercle C

établir une équation du cercle circonscrit au triangle ABC et la mettre sous la fomre x²+y²+ax+by+c=0

merci d'avance de votre aide

kiss

audrey

[NicolasHRV]

Salut !

Pour le premier exercice, il suffit juste de décomposer tous les vecteur qui ne comprennent pas la lettre M en deux vecteur contenant chacun la lettre M (avec la relation de Chasles). On remarque finalement que tous les produits scalaires s'annulent. (je l'ai fait, ça marche).

[NicolasHRV]

Pour l'exercice 4 :

1°) Pour calculer les coordonnées du centre de gravité des trois points A, B et C, il faut appliquer la formule des barycentres pour n = 3 points

RAPPEL : Dans ce cas tu dois faire la moyenne pondérée des abscisses et celle des ordonnées. Ici, la moyenne n'est pas pondérée car c'est un isobarycentre.

on trouve, pour vérification : G(8/3 ; -2/3)

2°) Par définition, une hauteur est perpendiculaire à un coté du triangle et passe par le point opposé. On applique donc le produit scalaire puisqu'on sait qu'il sera nul. Notons H l'intersection de la hauteur et du coté correspondant (AB par exemple).

(désolé on peut pas représenter correctement les flèches des vecteurs)

on sait donc que : CH.AB = 0

Connaissant les coordonnées de A, B et C on trouve les coordonnées du vecteur AB. Puis on exprime le vecteur CH en fonction de Xh et Yh

on trouve : AB(8 ; 4) et CH(Xh - 6 ; Yh + 4)

Il ne reste plus qu'à appliquer la formule classique des produits scalaires, c'est-à-dire CH.AB = xx' + yy' = 0

On a donc : 8Xh + 4Yh - 32 = 0

Yh =

Pour l'exercice 4 :

1°) Pour calculer les coordonnées du centre de gravité des trois points A, B et C, il faut appliquer la formule des barycentres pour n = 3 points

RAPPEL : Dans ce cas tu dois faire la moyenne pondérée des abscisses et celle des ordonnées. Ici, la moyenne n'est pas pondérée car c'est un isobarycentre.

2°) Par définition, une hauteur est perpendiculaire à un coté du triangle et passe par le point opposé. On applique donc le produit scalaire puisqu'on sait qu'il sera nul. Notons H l'intersection de la hauteur et du coté correspondant (AB par exemple).

(désolé on peut pas représenter correctement les flèches des vecteurs)

on sait donc que : CH.AB = 0

Connaissant les coordonnées de A, B et C on trouve les coordonnées du vecteur AB. Puis on exprime le vecteur CH en fonction de Xh et Yh

Il ne reste plus qu'à appliquer la formule classique des produits scalaires, c'est-à-dire CH.AB = xx' + yy' = 0

on trouve, pour une hauteur :

Yh1 = Xh1/7 - 4/7

On a donc cette première équation carthésienne (c'est une droite, ce qui est tout à fait normal puisque une hauteur en est une).

on calcule pour une autre hauteur.

Pour trouver l'orthocentre, on calcule Yh1 = Yh2

on obtient donc les coordonnées de l'orthocentre

On fait de même pour le centre du cercle circonscrit, on utilise aussi les prduits scalaires puisqu'on a de nouveau affaire avec des perpendiculaires.

Ca y est, t'es sur la lancée, tu peux continuer seule, je pense

@+