Deux Suites Numériques Convergentes

[Mario]

Exercice sur les suites numériques.

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Soit la suite numérique (Un) définie par :

U1 = 1 / e et Un+1 = ( n / n+1 ) * Un pour n 1

1°) Montrer que la suite (Un) est convergente et calculer sa limite.

2°) Soit la suite ( Vn) définie par :

Un = (1 / e ) * ln (Vn) pour n>= 1

a) Exprimer, pour tout entier n 1

Vn en fonction de Un

B) Monter que la suite (Vn) est convergente

et calculer sa limite.

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Merci beaucoup de votre aide et bonne journée à vous.

M.F.

[philippe]

Bonjour,

je ne vois pas bien ce qui te bloque.

au brouillon, on fait parler un peu (u(n)) et il n'est pas difficile de voir que:

u(n)=u(1)/n

par exemple, partant de u(n+1)=nu(n)/(n+1)

tu as (n+1)u(n+1)=nu(n)

donc

2u(2)=u(1)

3u(3)=2u(2)=u(1)

4u(4)=3u(3)=u(1)

...

ETC

donc

nu(n)=(n-1)u(n-1)=u(1)

mais le etc n'est pas une démonstration donc je te propose de démontrer ce qui a été établi au brouillon par récurrence.

(facile)

la limite devient donc évidente.

(tu auras peut être calculé qq termes pour t'en convaincre)

quant à la suite, tu as automatiquement que

1/n=ln(v(n))

donc v(n)=...

et la limite n'est pas hors d'atteinte!

(merci le théorème de composition)

[Mario]

D'accord.

Mais je ne sais pas bien comment expliquer et démontrer que

1°) (Un) est convergente

2°) (Vn) est convergente

Merci beaucoup à vous tous.