Homothéties, Sérieux Problème!

[chris87]

bonjour!

j'aurais besoin de votre pour un exercice assez compliqué, ce devoir est à rendre sur feuille:

PARTIE A: Triangle

étant donné 3 points non alignés I,J,K construire le triangle ABC tel que I,J,K soient les milieux respectifs de [AB], [bC], [CA]

combien le problème a t il de solution?

PARTIE B: Quadrilatère

1/Soit un quadrilétère ABCD et I,J,K,L les milieux des coté [AB], [bC], [CD], [DA]

Quelle la nature du quadrilatère IJKL?

2/Réciproquement, étant donné 4 points I,J,K,L convenablement disposés, construire le quadrilatère ABCD tel que I,J,K,L soient les milieux respectifs des cotés [AB], [bC], [CD], [DA]

Combien le problème a t il de solutions?

PARTIE C:Pentagone

1/Soit un pentagone ABCDE et I,J,K,L,M les milieux respectifs des cotés [AB], [bC], [CD], [DE], [EA] .

Montree que les vecteurs IJ+KL=AM

2/On donne 5 points I,J,K,L,M. Construire le pentagone ABCDE tel que I,J,K,L,M soient les milieux respectifs de [AB], [bC], [CD], [DE], [EA]

Combien le problème a t il de solutions?

merci beaucoup, énormement pour votre aide

[philippe]

bonjour,

triangle.

tu peux aborder le pb sous plusieurs angles.

IJK est le triangle des milieux.

tu sais que:

2IJ=AC donc A est sur la // à (IJ) passant par K

2JK=BA donc A est sur la // à (JK) passant par I

A est complètement déterminé ainsi que B et C.

Il y a 1 seule solution.

(raisonner par analyse-synthèse)

tu peux aussi regarder le pb en termes de transformations.

Soit sI,sJ,sK les symétries centrales de centre I,J et K

posons f=sK o sJ o sI

on a facilement:

f(A)=A

donc A est un point fixe de la transformation f

or f est une symétrie centrale (appelons O son centre)

(car composée d'un nb impair de telles symétries).

et une symétrie centrale n'a qu'un point fixe : son centre.

Le pb n'a donc qu'une seule solution O=A.

Tout revient à cherche le point fixe de f autrement dit trouver A.

simple, A est le milieu d'un point (quelconque) et de son image par f.

cherchons par exemple l'image de I par f

on sait donc que A est milieu de [i,f(I)]

f(I)=sK o sJ o sI(I)=sK o sJ(I)

mais sK o sJ est la translation t de vecteur 2JK (voir cours)

donc A est milieu de [i,t(I)]

quadrilatère.

une remarque:

une propriété utile(!) est de savoir que les milieux d'un quadilatère forment un parallélogramme.

c'est l'objet d'une de tes questions.

donc si IJKL n'est pas un parallélogramme, pas la peine de se tuer à chercher ABCD : il n'existe pas.

la condition IJKL parallélogramme est donc nécessaire.

tu peux encore ici utiliser une méthode plutôt vectorielle ou une méthode utilisant des transformations.

avec les transformations, considère l'application

f=sL o sK o sJ o sI

montre ici que f est l'dentité.

(identifie la nature de f (translation de vecteur...))

par conséquent le problème a une infinité de solutions.

en général:

on donne n points I1,...,In

on demande de trouver n points A1,A2,...,An

tels que I1 milieu de [A1,A2],...,In milieu de [An,A1]

appelons s1,...,sn les symétries de centre I1,...,In

considérons la composée f=s1 o ... o sn

A1 est un point fixe de f.

si n est impair:

f est une symétrie centrale de centre O.

le problème a une unique solution : O

on détermine ce point comme milieu d'un point et de son image

si n est pair:

f est

ou l'identité et il y a une infinité de solutions

ou la translation de vecteur u=2(A1A2+...An-1An)

si u=0 alors la translation est l'identité : infinité de solutions

si u <>0 alors pas de solutions

voila

[chris87]

en général:

on donne n points I1,...,In

on demande de trouver n points A1,A2,...,An

tels que I1 milieu de [A1,A2],...,In milieu de [An,A1]

appelons s1,...,sn les symétries de centre I1,...,In

considérons la composée f=s1 o ... o sn

A1 est un point fixe de f.

si n est impair:

f est une symétrie centrale de centre O.

le problème a une unique solution : O

on détermine ce point comme milieu d'un point et de son image

si n est pair:

f est

ou l'identité et il y a une infinité de solutions

ou la translation de vecteur u=2(A1A2+...An-1An)

si u=0 alors la translation est l'identité : infinité de solutions

si u 0 alors pas de solutions

je ne comprends pas cette partie, pouvez vous m'expliquer s'il vous plait?