Cercle D'euler

[salamandretordue]

j'aimerais avoir des indices pour cet exo merci bcp !!!

Droite et cercle d euler d'un triangle

dans le plan P, soit ABC un triangle qui n'est pas equilateral.

on note H son orthocentre, G son centre de gravité et O le centre du cercle circonscrit C.

on designe respectivement pas A', B' et C'les milieux des cotés [bC], [CA] et[AB] et par A1, B1 et C 1 les projoté orthogonaux des points A B et C sur els droites (BC), (CA) et (AB).

A la droite d'euler d 'un triangle

le but de cette partie est de demontrer que les points O, G et H sont alignés sur une droite qui est appelée droite d'euler du triangle ABC

1 faire une figurre soignée

2 Soit h l'homothetie de centre G qui transforme A en A'

a preciser le rapport de l'homothetie h et determiner les images des points B et C par cette homothetie

b en utilisant les images par h des droites (AA1) et (BB1), determiner l'image par h du point H

c en deduire que les points O, G et H sont alignés et exprimer vect (OH) en fonction de vect(OG)

3 a quelle est la droite d'euler d'un triangle isocèle

b la droite d'euler d'un triangle peut elle etre confondue avec l'une de ses medianes

c deux triangle differents peuvent ils avoir la meme droite d'euler? justifier

B une propriete de l'orthocentre d'un triangle

le but de cette partie est de demontrer que les symetries orthogonaux de l'orthocentre H par rapport aux cotés du triangle ABC appartiennent au cercle C

1 soit T l'image du cercle C par la reflexion d'axe (BC)

2 en utilisant l egalité vect(OH) = 3vect(OG), demontrer que : vect(AH) = 2vect(OA)

3 en deduire que le cercle T est l'image du cercle C par la translation de vect(AH) ; puis que H appartient au cercle T

2 conclure

C le cercle d'euler d'un triangle

le but de cette partie est de demontrer que le cerlce C' circoncit au triangle A'B'C' passe aussi par les points A1, B1 et C1 et par les milieux respectifs A2, B2 et C2 des segments [AH], [bH] et [CH]

le cercle C' est appelé cercle d'euler du triangle ABC

1 demontrer que le cercle C' est l'image du cercle C par l'homothecie h definie dans la premiere partie

[salamandretordue]

s'il vous plait je voudrais le réussir mais je ne comprend vraiment pas!!!!

c'est juste quelques aides que je demande pas la reponse merci bcp!!!

[salamandretordue]

1 soit T l'image du cercle C par la reflexion d'axe (BC)

2 en utilisant l egalité vect(OH) = 3vect(OG), demontrer que : vect(AH) = 2vect(OA)

3 en deduire que le cercle T est l'image du cercle C par la translation de vect(AH) ; puis que H appartient au cercle T

2 conclure

C le cercle d'euler d'un triangle

le but de cette partie est de demontrer que le cerlce C' circoncit au triangle A'B'C' passe aussi par les points A1, B1 et C1 et par les milieux respectifs A2, B2 et C2 des segments [AH], [bH] et [CH]

le cercle C' est appelé cercle d'euler du triangle ABC

c cette partie de l'exo que je ny arrive pas..le reste j'ai trouvé!!!!!

juste une petite aide !!!!

[salamandretordue]

si des personnes veulent savoir le début afin que je les aide pas de prob

[salamandretordue]

please....je n'y arrive vraiment pas.....

[Nyrhissa]

je suis dsl masi je ne compren vraiment pas ton exo dsl!

[philippe]

bonjour,

A2a

A,G,A' alignés et G est aux 2/3 de A sur (AA') : AG=2/3AA'

on est autorisé à passer en vecteurs (en faisant attention à l'ordre des points): AG=2/3AA'

A' image de A par h (centre G, rapport k) : GA'=kGA

partir de AG=2/3AA' et arriver sous la forme GA'=kGA, en déduire k.

A2b

on a {H}=(AA1)n(BB1)

l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle.

on a

{h(H)}=h(AA1)nh(BB1)

image de (AA1):

h(AA1)=(h(A)h(A1))

on connait h(A)=... mais pas spécialement h(A1)

mais ce n'est pas la peine car on sait que la droite image est une droite parallèle

donc l'image d'un point suffit pour déterminer la droite image.

l'image de (AA1) par h est donc la droite passant par h(A)=... et qui est parallèle à (AA1).

montre donc qu'il s'agit de la médiatrice de [bC]

en déduire que h(H)=O

A2c

du gâteau sachant h(H)=O

A3a

bon je te la laisse c'est pas bien dur

A3b

à ton avis? regarde A3a

A3c

construit 2 triangles T1 et T2 quelconques et trace la droite d'Euler de chacun.

par rotation et translation de T1 (autrement dit : en bougeant T1) tu peux faire en sorte que sa droite d'Euler vienne se positionner sur celle de T2.

réponds donc à ta question.

B2

OH=3OG=OA+OB+OC (eh oui merci le barycentre)

donc

OH-OA=OB+OC

AH=OB+OC

introduire A' à droite pour terminer

B3

regardons un peu T.

c'est le cercle de même rayon que C dont le centre O' est le symétrique de O par rapport à (BC).

donc: OO'=2OA'

donc: OO'=AH

cad (si t est la translation de vecteur AH): O'=t(O)

cela devrait te suffir pour répondre au fait que T=t©.

A est sur C donc t(A) est sur t©.

c'est quoi t(A)??

j'espère que ça ira, bon dimanche!