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Les Triangles De Même Forme


Vasta

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Salut :) ! Alors j'ai un problème, je n'arrive pas à faire le devoir suivant, il comporte 2 exercices :

Exercice 1:

ABCD est un rectangle tel que AB=6 et AD=4. Le point E est le milieu de [AB] ; M est un point de [bC] et N est le point de [CD] tel que (MN) est perpendiculaire à (EM). On pose BM= x .

1) Montrer que les triangles EMB et MNC sont de même forme.

2) En déduire l'expression de NC en fonction de x .

3) Calculer x tel que les triangles EMB et MNC soient isométriques.

4) 1) Calculer x tel que l'aire de EMB soit le double de celle de MNC. 2) Peut-elle être égale à la moitié ?

5) Exprimer EM² et MN² en fonction de x .

6) 1) Que peut-on dire des triangles EBM et EMN si les angles BM et MN sont égaux ? 2) Calculer x pour que les angles BM et MN soient égaux.

Mes réponses :

1) Sachant que la somme des angles d'un triangle vaut 180° et et que les triangles EMN, EBM et MNC sont respectivement rectangle en M, B et C ; on peut déduire que l'angle BME et l'angle CMN sont complétaire car l'angle BME + l'angle CMN = 90°. Ensuite on peut dire que l'angle CNM et l'angle MEB sont complémentaire pour des raisons analogues. On a donc l'angle CMN = l'angle MEB et l'angle BME = l'angle CNM, car ils ont même complément.

Les triangles EMB et MNC ont leurs 3 angles égaux deux à deux, ils sont donc de même forme.

2) Puisque les triangles EMB et MNC sont de même forme on peut écrire :

EB/MC = BM/CN= EM/MN

On a donc 3/4-x = x/NC

d'où 3NC = x(4-x)

d'où NC = x(4-x) /3

3)On pose EB=CM=3. Les angles MEB et NMC etant égaux , ainsi que les angles MBE et NCM (triangles rectangles), on a :

EB/CM= 3/3

d'où 3/4-x = 3/3

d'où 12-3x = 9

d'où -3x = 9-12

d'où x= -3/-3

d'où x = 1

Pour les triangles EMB et MNC isométriques x vaut 1.

4) 1) Sachant que la formule de l'aire d'un triangle est bXh/2 , on a :

3x/2 = 2 [ x (4-x)/3 (4-x)] /2

On simplifie: 3x/2 = x(4-x)/3 (4-x)

d'où 3x/2x = (4-x)/3 (4-x)

d'où 3/2 = (4-x)/3 (4-x)

d'où 9/2 = (4-x) (4-x)

d'où 9/2 = (4-x)²

d'où V9/2 = 4-x

d'où 3/V2 = 4-x

d'où x = 4 - 3/V2

d'où x = 4V2/V2 - 3V2/V2

d'où x = 4V2 - 3

2) Je n'ai pas trop compris la question...

5) D' après le théorème de Pytagore:

EM² = EB² +MB²

EM² = 3² + x²

MN² = MC² + NC²

MN² = [ x (4-x)/3 ]² + (4-x)²

6) 1) Si les angles BEM et MEN sont égaux, sachant que les triangles EBM et EMN sont respectivement rextangles en B et en M, cela reviendrait à dire que ces deux triangles ont leurs 3 angles égaux deux à deux, ils sont donc de même forme.

2) Alors là je bloque complètement, si je fais le calcul avec EM et MN (demandés plus haut) j'arrive à des trucs pas possibles... et autrement je vois pas...

Exercise 2

ABC est un triangle équilateral ; I et J sont les points du demi-cercle de diamètre [AB] tels que BI=IJ=JA. Les droites (CI) et (CJ) coupent (AB) en S et T.

M est le milieu de [AB] .

1) Montrer que les triangles ATC et JTM ont le même forme.

2) En déduire que AT = 2TM.

3) Montrer que BCS et SMI ont la même forme.

4) En déduire que BS=ST=TA.

5) Montrer que les triangles MBI, MIJ, MJA sont isométriques et ont la même forme que ABC.

6) Calculer le rapport aire (ABIJ) / aire (ABC) .

Mes réponses :

1) Etant donné que les angles BMI, IMJ et MJA interceptent respectivement les arcs de cercles IB, IJ et JA et que nous savons que BI = JI =JA, on sait alors que les angles BMI, IMS et JMA sont égaux. Ces trois angles formant à eu trois un angles de 180° on en conclue qu'il valent chacun 60°.

Les angles ATC et JTM étant opposés pas le sommet, ils sont donc égaux.

Sachant que l'angle TAC vaut 60°, on peut affirmer que les triangles ATC et JTM sont de même forme ayant leurs trois angles égaux deux à deux.

2) Là je suis bloqué, j'imagine qu'il y a une propriété que je ne connais pas... :unsure:

3) On a vu que l'angle IMS valait 60°, sachant que l'angle SBC vaut aussi 60° et que les angles BSC et ISM, étant opposés par le sommet, sont égaux, on peut affirmer que les triangles BCS et SMI , ayant leurs 3angles égaux deux à duex, ont la même forme.

4) Là de la même facon qu'en 2) je bloque.

5) Je ne sais pas comment démontrer cela.

6) Je ne comprends pas du tout le rapport qu'il pourrait y avoir. :blink:

V = racine carré

/= le trait de fraction

X= multiplié

Voilà, si qqun peut m'aider, ce serai très gentil :) car j'ai l'impression de devenir folle :blink: ... J'aimerai que l'on me dise déjà si mes réponses sont corrctes et qu'on me mette sur la bonne voie pour le reste... Merci beaucoup par avance , c'est très important. :(

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Pour l'exo 1 :

4)1) je trouve quelquechose de différent

tu as un moment: 9/2=(4-x)² tu développes tu obtiens

x²-8x+23/2=0 et en résolvant tu as deux valeurs x=3/V2+4 et x=4-3/V2 et il faut garder que la deuxième car x appartient à [0;4]

(j'ai vu ton erreur elle est à l'avant dernière ligne du calcul ,en fait la ligne d'avant est le bon résultat mais après tu fais un truc bizarre avec les V2 )

2) En fait j'ai fait exactement la même chose qu'avant (bizarre la question ) et je trouve x=1 ou x=7 donc seul x=1 est valable

6)2)Tu as raison les triangles sont de la même forme mais en plus le coté EM en commun donc on cherche BM=MN ou BM²=MN²

x²=(x(4-x)/3)²+(4-x)² on a alors x^4/9-8x^3/9+16x²/9-8x+16=0

ainsi en valeurs approchées on a x=2.21 ou x=6.74 d'où seul x=2.21 est valable

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