Besoin D'aide Svp. Je Suis Bloqué

[gege76]

Bonjours,

Nous venons de faire le cours sur la trigonométrie. Je bloque pour réaliser les questions 4 et 5 d’un exercice. Pouvez vous m'aider SVP. Merci d'avance. je suis en 1ere.

Exercice :

Soit C un cercle de centre O et de rayon R.

A et B sont deux points du cercle.

On note 2a la mesure en radians de l'angle AOB.

On construit le rectangle CEFD comme indiqué sur la

figure, (voir ci dessous) ; I désignant le milieu du segment [EF].

L'objectif de cet exercice est de déterminer la position des points C, E, F et D pour que l'aire de ce rectangle soit maximale.

On note x une mesure en radian de l'angle EOI.

1) Exprimer El en fonction de x et de R.

2) Démontrer que : CE = [ Rsin(alpha - x) ] / (sin alpha)

3) En déduire l'aire du rectangle CEFD en fonction de R, x et alpha.

4) Démontrer que: (2sinx)(sin(alpha - x)) est maximal si et seulement si cos(2x - alpha) – cos alapha est maximal.

5) En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle est maximale.

Réponses :

Tous les angles sont en radians.

1. donc EI = R sin(alpha).

2. Dans le triangle ECO,

l'angle en E vaut x (EC//OI et EO sécante).

l'angle en O vaut (alpha-x) (évident).

La règle des sin appliqué au triangle quelconque ECO donne

a/sinA = b/sin B = c/sinC

avec les notations de l'exercice

R/sin(180-alpha) = EC/sin(alpha-x)

Or

sin (180-alpha) = sin(alpha)

Donc

R/sin(alpha) = EC/sin(alpha-x)

D'où la valeur de EC fournie dans l'énoncé.

3. L'aire du rectangle: Aire = CE.EF = CE.2EI

On connaît CE et EI, donc

Aire = 2R².[sin(x).sin(alpha-x)/sin(alpha)]