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Demande D'aide Surement En Vain...


aphex

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bjs, j'ai un devoir de maths à rendre et je bute sur cet exo,j'ai demandé de l'aide sur un autre site mais rien,donc j'espere que quelqu'un pourra m'aider en me donnant des indications de la question 2)b a 4)a

.(inf=inferieur ; sup=superieur ; int=integral)

u est la suite définie pour tt entier n sup à 2 par:

Un: 1+1/2+...+1/n - int(de 1 à n)1/x dx

1)construire 1/x

2)sur [1;2] , [2 ; 3] , [3 ; 4] construire respectivement les rectangles R1,R2,R3 de hauteur 1/2 ,1/3,1/4 et les rectanglesR'1 ,R'2,R'3 de hauteur 1, 1/2 ,1/3.

en déduire que 1/2+1/3+1/4 (de 1 a n) 1/x dx 1+1/2+1/3

B)n est un entier tel que n sup à 2.Montrer que 1/2+1/3+...+1/n inf int (de 1 à n) 1/x dx inf 1+1/2...1/(n-1)

3) en deduire que pour tt entier n sup à 2 , 0 inf Un inf 1

4)a) demontrer que pr tt entier n sup à 2 ,

1/(n+1) inf int(de n à n+1)1/x dx inf 1/n

B) en deduire que la suite u est decroissante

c) montrer que u est convergente,trouver sa limite

5) v est la suite defini pr tt n sup à 2 par Vn= Un - (1/n)

a) montrer a l'aide de 4)a) que Un et Vn st adjacentes

merci.

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ok voila la correction COMPLETE parce ke je dois faire le meme exercice : ex 102 p 216 mais je suis pas totalement sur !!: je dois le rendre dans qq jours

notation integ(f(x),low,up) : integrale de f(x)*dx de low à up

2)a) les rectangles R1, R2, R3 sont situés au dessous de C donc la somme de R1, R2, R3 est inferieur à integ(1/x,1,4) qui est l'aire situé sous la courbe ; quant à 1 + 1/2 +1/3 il s'agit de la somme des aires des rectangles situés au dessus de C donc :

1/2+1/3+1/4 <= integ(1/x,1,4) <= 1+1/2+1/3

b)et R1, ..., R(n-1) sont les rectangles situés sous la courbe et R'1,... R'(n-1) sont les rectangles situés au dessus de la courbe d'où l'inégalité : (celle a verifier)

3) Un=1 + [ 1/2+....+1/n - integ(1/x,1,n) ] or 1/2+....+1/n - integ(1/x,1,n) <= 0

pour n >(ou egale) 2 donc Un <= 1 et integ(1/x,1,n) <= 1 +1/2+1/(n-1)

donc 1+1/2+...+1/(n-1)-integ(1/x,1,n) >(ouegale) 0

et Un >(ouegale) 0 car Un=( 1+1/2+...+1/(n-1)-integ(1/x,1,n)) + 1/n

4)a)1/x est decroissant sur [n;n+1] donc qqsoit x de [n:n+1], 1/(n+1) <= 1/x <= 1/n

donc d'apres les questions 2)a)B) on a : (la je sais pas le montrer)

1/n+1 <= integ(1/x,n,n+1) <= 1/n

b)qqsoit n>(ou egale) 2 Un+1-Un=1/(n+1)-integ(1/x,n,n+1) <= 0 donc u est decroissante

voila et esaie de bien comprendre !! ;)

c)la suite u est minorée par 0 est decroissante donc u est convergente

5)a)qqsoit n>(ouegale) 2 Vn+1-Vn= Un+1-Un-1/(n+1)+1/n

= 1/n-integ(1/x,n,n+1) >(ou egale) 0 d'apre 4)a)

donnc v est croissante et on a vu que u est decroissante

de plus limite de (Vn-Un) en +infini = lim -1/n en + infini = 0

donc u et v sont adjacentes

B)u et v convergent vers C donc qqsoit n>(ouegale) 2 , Vn <= C <= Un

donc Un-1/n <= C <= Un Cad : 0 <= Un-C <= 1/n

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