Produits Scalaires Dans Des Cercles.

[Didinouchka]

Voilà j'ai ce devoir à rendre pour lundi et je bloque sur plusieurs questions.

Dans le plan P, soit le cercle C de centre O et de rayon R et M un point quelconque de P. On mène par M une sécante au cercle C qui le coupe en deux points A et B. On note A' le point diamétralement opposé à A sur C.

1a) Justifiez que MA(vecteur).MB(vecteur)=MA(vecteur).MA'(vecteur)

MA.MA'= (MB+BA).(MB+BA')=MB.MB+MB.BA'+BA+MB+BA+BA'

Comme AA'B est un triangle rectangle en B, BA.BA'=0 et MB.BA'= 0

ce qui nous donne MA.MA'= MB.MB+BA.BA'

Et aprés je sais plus( le pire c'est que je dois pas être si loin que ça de la soluce. :paf )

1b) Montrez que MA(vecteur).MB(vecteur)= OM^2-R^2

Là par contre je sais pas du tout comment faire.

2)On considére Z(M) le réel OM^2-R^2

Dans la figure ci contre, M est un point extérieur au cercle C de centre O et la droite (MT) est tangeante en T au cercle C. Montrez que Z(M) = MT^2

Ca j'ai réussi à le démontrer en utilisant pythagore.

3) Etudiez le signe de Z(M) Suivant la position de M

Ca je vois pas du tout comment faire.

4) Déterminer les lignes de niveau Lk de l'application Z :M -> Z(M) = OM^2 - R^2 en discuttant suivant les valeurs du réel k.

Là non plus j'ai pas du tout saisie comment il fallait faire.

5) Information: Soit un cercle C de centre O et de rayon R et M un point quelconque du plan. On appelle puissance du point M par rapport au cercle C le réel Z(M) = OM^2 - R^2

Pour toute sécante à C passant par M qui coupe C en A et B, Z(M)=MT^2

Application : Dans la figure ci dessous on a placé sur le cercle C de centre O et de rayon R les points A,B,A' et B' tels que les droites (AA') et (BB') soient orthogonales et se coupent en I.

Montrez que ( IA(vecteur)+IB(vecteur)) .A'B'=0

En déduire que la médiane issue de I du triangle IAB est une hauteur du triangle IA'B'.

Pour celui là je crois qu'il faut que je démontre que les vecteurs IA et IB sont orthogonaux mais si c'est ça je sais pas du tout comment faire.

Merci beaucoup à tout ceux qui pourrons m'aider

Didinouchka