dm maths TS

[anne.bak]

Voilà tout l'énoncé. Les questions auxquelles je ne sais pas répondre sont en rouge.

la petite étoile * veut dire multiplié

x2 veut dire x au carré

e = exponentielle de 1

L'énoncé est en gras.

j'ai une figure avec la courbe représentative C d'une fonction f définie et dérivable sur R ainsi que son asymptote D et sa tangente T au point d'abscisse 0.

On sait que le point J(0;1) est centre de symétrie de C. On sait que D passe par les points J et K(-1;0). On sait que la tangente T a pour équation y = (1 - e)x + 1.

En fait la fonction est f(x) = 1+ x -x*exp(-x2+1) mais la formule on ne l'a que dans la partie B.

Partie A:

1) Déterminer une équation de D :J'ai réussi et j'ai trouvé y = x + 1. Je me suis servi des points J et K.

2) On suppose qu'il existe 2 réels m et p et une fonction g définie sur R telle que pour tout réel x, f(x) = mx + p + g(x) avec limite, quand x tend vers + l'infini, de g(x) = 0.

a) déterminer m et p. J'ai réussi et j'ai trouvé a =1 et b=1.

B) démontrer que pour tout x, f(x) + f(-x) = 2. je me suis servi du fait que J est centre de symétrie et ça marche.

c) en déduire que la fonction g est impaire puisque la fonction f ', dérivée de f, est paire. Là je sais pas aprce que je vois pas le rapport entre la parité de la dérivée de f et la parité de g.

3) on suppose maintenant que, pour tout réel x, g(x) = (ax + B)*exp(-x2) où a et b sont des réels. Là je vois franchement pas !!!

Partie B :

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 1 + x - x*exp(-x2 +1) et on suppose que C est la courbe représentative de la fonction f.

1) Calculer f ' (x), dérivée de f. J'ai trouvé f ' (x) = 1 - (1 - 2x2) * exp(-x2 + 1).

2) déterminer l'équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0. y = f ' (0) * x + f(0) = (1 - e)x + 1 , ce qui correspond à l'énoncé.

3) Calculer f ' ' (x). (dérivée de la dérivée). J'ai trouvé f ' ' (x) = (-4x3 + 6x) * exp(-x2+1). x3 veut dire x au cube.

En déduire le sens de variation de f ' (x). J'ai étudié le signe de f ' ' (x) donc j'ai les variations de f ' (x) : croissante sur ]- l'infini ; -racine de 6 sur 2], décroissante sur [ - racine de 6 sur 2 ; 0], croissante sur [0 ; racine de 6 sur 2] et décroissante sur [ racine de 6 sur 2 ; + l'infini[

Mais je n'arrive pas à calculer les limites en + l'infini et - l'infini, ça fait une forme indéterminée !! Je sais qu'on doit trouver 1 dans les 2 cas mais je vois pas comment.

Montrer que l'équation f ' (x) = 0 possède une solution unique alpha sur [0;1]. Déterminer un encadrement de alpha à 0,01 près. j'ai utilisé la bijection et on obtien alpha compris entre 0,51et 0,52.

4) Exprimer f (alpha) sous la forme d'un quotient de deux polynômes en alpha. Alors là, je comprends pas la question !!

Merci d'avance pour votre aide !! :wink: :wink:

[anne.bak]

y'a personne qui a une idée (même une toute petite de rien du tout ?)

:cry: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry:

J'attends vos réponses jusque jeudi !!!

[drfaustchimie]

petite piste pour trouver l'alpha =0, tu dois utiliser le théorème de Bolzano et sa dicotomie

[anne.bak]

euh, c'est quoi le théorème de Bolzano ?? j'ai jamais vu ça :?:

Tu aurais pas une idée pour la forme indéterminée ??

[yves]

Pour le A2c les deux questions ne sont pes liées mais se déduisent toutes les deux du B) en calculant g(-x) et en dérivant l'égalité pour f'.

Pour le A3 où est la question?

Pour le B3 la croissance comparée des fonctions puissance et exponentielle, ça ne te dit rien?

Pour le B4 c'est un peu plus dur: il faut utiliser les définitions de alpha (f'(alpha)=0) et de f(alpha) et bidouiller.

[anne.bak]

merci !!!

:oops: pour la A3, la question c'est déterminer en utilisant les données et les résultats et les données précédentes les valeurs dee a et b.

Et merci beaucoup pour le reste !!!

[yves]

Pour la question A3) as-tu trouvé les conditions que doit vérifier g pour que f satisfasse aux conditions de départ?

[anne.bak]

euh, càd ?? enfin, en y réfléchissant + longtemps, je devrais trouver ...

pour le reste c'est OK !!!

Si je n'arrive pas à la question A3, je te laisserais un message. Merci !!!

Dis, t'es prof de maths ou alors simplement très doué ? :wink:

[anne.bak]

pour la A2c (montrer que f' est paire.) :

j'ai calculé f' (x), ça fait m + g ' (x)

et f' (-x), ça fait -m + g ' (-x)

Je sais qu'on doit trouver f '(x) = f'(-x) mais comment ??

Ce que tu appelles la croissance comparée des fonctions puissances et exponentielles, c'est la limite, quand x tend vers - l'infini, de x multiplié par exp(x) = 0 ? Mais ici f (x) = 1 + x - x * exp(-x carré + 1)

Quand x tend vers l'infini (+ ou -) -x carré + 1 ça tend vers - l'infini, donc exp (-xcarré + 1) ça tend vers 0. Donc on a une forme indéterminée quand on multiplie par x !!!

Et encore merci !! :wink:

[yves]

Pour la A2c) tu n'arriveras à rien ainsi; il faut dériver l'égalité obtenue au 2b).

Pour la 3) il faut effectivement ruser :en - infini, tu écris exp(1-x2)=exp(x) exp(1-x-x2). Tu peux alors utiliser la croissance comparée pour xexp(x) et calculer la limite de exp(1-x-x2). Il n'y a plus d'indétermination. Je te laisse adapter cela en +infini.

Sinon, je suis prof de maths et j'ai des TS cette année, ça aide pour savoir ce que vous avez le droit d'utiliser ou pas avec les nouveaux progammes.

[anne.bak]

Je suis désolée, je me suis trompée : pour la question 3 de la partie B, c'est avec les limites de f ' (x) que j'ai un problème, pas avec f (x).

f ' (x)= 1 - exp (-x2+1) * (1- 2xcarré).

Avec ta méthode, je ne vois pas comment tu appliques la croissance comparée de xexp(x) à exp(x)*exp(1-x-x2). :?

pour la A2c, il faut dériver f (x) + f (-x) = 2.

Ca fait f ' (x) + f ' (-x) = 0, non ? Alors comment on retrouve f ' (x) = f ' (-x) ????? :!:

Désolée de te redemander tout le temps ... :oops: :oops: :oops:

[yves]

Pour la limite de f' tu as aussi lim xpuissancen exp(x)=0 en -l'infini ou lim xpuissance n exp(-x)=0 en +l'infini. Cela te permet ,avec n=2, d'utiliser la même technique.

La dérivée de f(-x) n'est pas f'(-x) : revois ton cours sur la dérivée d'une fonction composée.

voilà; ça ne me dérange pas spécialement de répondre à tes questions: je suis en train de préparer mon cours sur les exponentielles que je commence lundi, ainsi je vois certaines difficultés qui peuvent se présenter.

[anne.bak]

J'ai trouvé !!!

pour la question A2c, je trouve bien f ' (x) = f ' (-x). J'ai pris la formule de la dérivée d'une fonction composée : la dérivée de f (ax+B) c'est -a*f ' (ax+B). Ici, a = -1 et b = 0..

pour la question 3, j'ai réussi à trouver que b = 0. (en utilisant le point J (0;1). et en prenant f (x) = x +1 + (ax+B)*exp(-xcarré).

pour l'instant, je sais pas comment trouver le a.

Pour la forme indéterminée des limites( question B3), ça marche tout seul. J'ai trouvé limite, quand x tend vers - l'infini) de f ' (x) = 1. Donc comme f ' est paire, limite, quand cx tend vers + l'infini, de f ' (x) = 1.

Pour la question 4, j'ai trouvé f (alpha) = 1 + alpha - (alpha/(1-2 alpha carré)).

Et encore merci !!!!