Primitive A Rendre Pour La Rentree

[vaness405]

bonjour, j'ai un gros problème pour faire mon dm pouvez vous m'aider s'il vous plait car sinon je ne purrait pas le rendre

Pour tout x dans ]0 ;+inf[, on pose : F(x)= somme de ln (1+e(-2t) dt

1. Etudiez le sens de variation de F

2. On désigne par a un réel strictement positif. Prouvez que pour t dans [1 ;1+a] : (1/(1+a))<(1/t)<1 et déduisez en que (a/1+a)<ln(1+a)<a

3. x désigne un réel strictement positif ; déduisez en de la question 2 que somme de o vers x de (e^(-2t)/(1+e^(-2t)) dt<F(x)< somme de 0 vers x de e^(-2t) dt puis que 1/2ln2-1/2ln(1+e(-2x)<F(x)<1/2-1/2 e^(-2x)

4. On admet que lorsque x tend vers +inf, la limite de F(x) est un nombre réel noté L ; prouvez que 1/2ln2<L<1/2

5. Pour tout entier naturel n, on note Un= somme de n vers n+1 de ln(1+e^(-2t) dt

a. démontrer qu 0<Un<ln(1+2 e^(-2pi)

b. Déduisez en la convergence de al suite (Un) et précisez sa limite.

merci d'avance