Geométrie dans l'espace

[kiiy2811]

Bonjour, j'ai cet exercice à faire et j'ai du mal à faire les deux dernières questions pouvez vous m'expliquez et vérifiez les autres réponses s'il vous plait en vous remerciant d'avance

1) Construire la section du cube par le plan (FIJ). Aucune justification n'est demandée

2) a) Justifier sue (A, AB,AD,AE) est un repère de l'espace 

A est l'origine du repère , (AB; AD;AE) sont des vecteurs non coplanaires et AB;AD;AE sont deux à deux orthogonaux. On sait également que le repère (A;AB;AD;AE) est orthonormé. E n'appartient pas au plan ABCD donc ils ne sont pas coplanaires et (A;AB;AD;AE) est un repère de l'espace.

b) Donner les coordonnées des points de la figure

A(0;0;0)  B(1;0;0)       I(0,5;0;0)     C(1;1;0)      D(0;1;0)      F(1;0;1)     G(1;1;1)    H(0;1;1)    J(1;1;0,5)     E(0;0;1)

3) Les droites (BH) et( IJ) sont elles sécantes ? Justifier la réponse

B(1;0;0)   H(0;1;1)     I(0,5;0;0) J(1;1;0,5)

BH(-1;1;1)       IJ ( 0,5;1;0,5)

On utilise la représentation paramétrique de( BH)                                               la représentation de (IJ) 

x=1-t                                                                                                                               x=0,5+0,5t'

y=0+t                                                                                                                              y=0+t'

z=0+t                                                                                                                              z= 0+0,5t'

 

Pour savoir si les droites sont sécantes, on cherche leur point d'intersection éventuel en résolvant le système 

x=1-t                                           x= 1-t                                              Les droites sont sécantes en (0,5;0,5;1)

y=0+t                                          y=t

z=0+t                                           z= t

x=0,5+0,5t'                                1-t=0,5+0,5t'

y=t'                                                t=t'

z=0,5t'                                           t=0,5t'

 

4) Soit L le point d'intersection du plan (FIJ) et de la droite(BH)

a) Justifier qu'il existe deux droites alpha et beta tel que FL=alpha FI +beta FJ

alpha et beta sont deux nombres réels , soit F,I;J trois points non alignés de l'espace $, le plan (FIJ) est l'ensemble des points L de l'espace tel que FL= alpha FI + beta FJ avec alpha et beta deux nombres réels. Trois vecteurs FL; FI et FJ sont coplanaires 

b) En déduire que las coordonnées (x;y;z) de L vérifient le système x=1-alpha /2

                                                                                                                      y=beta

                                                                                                                      z= 1-alpha -beta/2

 

F(1;0;1)    L(x;y;z)      I(0, 5;0;0)         J(1;1;0,5)

FL= x-1                    On sait que FL= alpha FI + beta FJ

       y-0

       z-1

x-1=alpha (0,5-1) + beta (1-1)

y-0=alpha (0-0)+ beta (1-0)

z-1=alpha (0-1)+ beta (0,5-1)

 

x-1=-0,5 alpha 

y=beta 

z-1= -alpha -0,5 beta 

 

x= 1-alpha /2

y=beta 

z=1-alpha - beta /2

 

c)  Ecrire une représentation paramétrique de la droite (BH) puis en déduire les coordonnées de L

(BH)= x=1-t

           y=0+t

          z= 0=t

L= (0,5;0,5; 1)

5) a) Justifier que(FL) et (IJ) sont sécantes et déterminer les coordonnées du point P de ces droites (je n'en suis pas sur)

F(1;0;1)       L(0,5;0,5;1)             I(0,5;0;0)         J(1;1;0,5)

représentation paramétrique de (FL)                                                    représentation paramétrique de( IJ) = (0,5;1;0,5)

(FL)= (-0,5;0,5;0)       x=1-0,5 t                                                                       x= 0,5+0,5 t'

                                    y= 0+0,5t                                                                     y=t'

                                    z= 1+0t                                                                        z=0,5t'

 

pour savoir si les droites sont sécantes on cherche leur point d'intersection éventuel en résolvant le système 

1-0,5t= 0,5+0,5 t'

0,5t=t'

1=0,5t'

t=-1

t=4

t'=2

b) Déterminer la position de P sur ces deux droites 

 

 

 

Merci pour votre réponse cdt