Ts Intégrales

[Phoebe.buffay]

Bonjour,est ce que vous pouvez m'aider dans cet exo sur les intégrales. Merci beaucoup pour votre aide.

Pour n entier naturel, on pose: In= intégrale 0 à pi/2 de sin^n x dx.

1. Calculer I pour n=0 et n=1.

J'ai trouvé I pour n=0 = pi/2 et I pour n=1 = 1

2. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n>=2, on a:

In= (n-1/n)*I(n-2) (1)

Indication: poser u(x)=sin^(n-1) x

Ayant quelques difficultés avec les primitives j'ai un peu de mal avec cette répondre à cette question.

[philippe]

bonsoir,

avec une ipp se pose le choix de u et v' quand on utilise : S(uv')=uv-S(u'v)

ici on te le donne.

u(x)=sin(x)^(n-1) ; u'(x)=...

v'(x)=sin(x) ; v(x)=...

il est plus facile de trouver une primitive de sin que de sin^(n-1) (ce que l'on cherche d'ailleurs!)

applique correctement la formule et ça vient tout seul, crois moi.

si vraiment tu as encore des difficultés, n'hésite pas.

[Phoebe.buffay]

Voici ce que j'ai trouvé

u(x)=sin(x)^(n-1) ; u'(x)= (n-1) cos x sin^(n-2) x

v'(x)=sin(x) ; v(x)= - cos x

donc

In = intégrale 0 à pi/2 de sin^n x dx

= [sin(x)^(n-1) *-cos x] - intégrale 0 à pi/2 de [(n-1) cos x sin^(n-2) x*- cos x]

En suite je fais comment pour trouver la primitive de [(n-1) cos x sin^(n-2) x*- cos x]

[philippe]

tu as trouvé:

In=[-sin(x)^(n-1) * cos(x)] +(n-1)*∫( [cos(x)^2 * sin(x)^(n-2)];x=0..π/2)

­or cos²x=1-sin²x

donc, ré écris un peu mieux tout ça, sans oublier que In=∫(sin(x)^n;x=0..π/2)

[philippe]

√ ∑ ∏ ± π ∂ ≠ ≈ ≡ ≤ ≥ ∫ ∩ ∂ ∆ ∞ º ¹ ² ³

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω

ça peut servir quand on a pas les codes ascii

en plus grand:

√ ∑ ∏ ± π ∂ ≠ ≈ ≡ ≤ ≥ ∫ ∩ ∂ ∆ ∞ º ¹ ² ³

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω

[Phoebe.buffay]

Grace à votre aide j'ai trouvé

In = [-sin(x)^(n-1) * cos(x)] +(n-1)*∫( [cos(x)^2 * sin(x)^(n-2)];x=0..π/2)

= [-sin(π/2)^(n-1) * cos(π/2)+sin(0)^(n-1) * cos(0)]+(n-1)*∫( [(1-sin(x)^2) *

sin (x)^(n-2)];x=0..π/2)

= 0+(n-1)*∫ ( [sin(x)^(n-2)-sin(x)^2*sin(x)^(n-2)];x=0..π/2)

= (n-1)*∫ ( [sin(x)^(n-2)-sin(x)^n];x=0..π/2)

Est ce que c'est juste ??? Si oui, ici je ne peut plus simplifier l'expression ???

[philippe]

oui, vas plus loin!

In = (n-1)*∫ ( [sin(x)^(n-2)-sin(x)^n];x=0..π/2)

par linéarité de l'intégrale,

In = (n-1)*∫ ( [sin(x)^(n-2)];x=0..π/2)-(n-1)∫ [sin(x)^n];x=0..π/2)

In=(n-1)*I_(n-2) -(n-1)*I_n

reste à trouver I_n...

[Phoebe.buffay]

J'ai trouvé que I_n = [-1/n cos^n(x)]

= -1/n cos^n (π/2) + 1/n cos^n 0

= 0 + 1/n*1

= 1/n

DOnc In=(n-1)*I_(n-2) -(n-1)*1/n

Mais comment on trouve I_n = (n-1/n)*I(n-2) ???

[philippe]

ton résultat ne me semble pas bon...car si I_n vaut 1/n alors on n'a aucun intérêt à chercher une relation de récurrence!

D'ailleurs il suffit de le vérifier.

Si I_n=1/n comme tu dis alors la relation cherchée devient:

1=(n-1)/(n-2) et donc 1=2 Faux.

regarde ce que j'ai écris:

I_n=(n-1)*I_(n-2) -(n-1)*I_n

donc

I_n+(n-1)*I_n=(n-1)*I_(n-2)

cad

n*I_n=(n-1)*I_(n-2)

donc

...

si tu avais eu d'écrit:

X=(n-1)*I_(n-2) -(n-1)*X

comment trouver X?

c'était si dur?

aahhhhhhhhh!

[Phoebe.buffay]

Merci beaucoup. J'ai même pas pensé à çà !! :P

Voici la suite du problème

3.En déduire In pour n=2, n=3, n=4 ,n=5

n=2 : π/4

n=3 : 2/3

n=4 : 3π/8

n=5 : 8/15

4. Démontrer par récurrence que, pour tout n>=1

a) I(2n)= (1*3*5*...*(2n-1)/(2*4*6...*(2n))*pi/2

B) I(2n+1)= (2*4*6*...*(2n)/(1*3*5*...*(2n-1))*1/(2n+1)

Pour cette question je ne sais pas comment commencer, d'habitude je montre qu'elle est vrai pour n=1, pui pour n, puis pour n+1, et je trouve que les 2 valeurs sont identiques. Mais je vois pas ??

[philippe]

heu... revoir n=4.

les récurrences.

cas I_(2n):

n=1 : vérifie que I_2=TT/4

suppose que pour n, I_(2n)=(1*3*5*...*(2n-1)/(2*4*6...*(2n))*pi/2

démontre que (au rang n+1):I_(2(n+1))=I_(2n+2)=(1*3*5*...*(2n+1)/(2*4*6...*(2n+2))*pi/2 .

tu as sachant que I_n=(n-1)/n.I_(n-2):

I_(2n+2)=...

conclure

idem avec l'autre; ça ne pose pas de difficultés majeures, je crois.