Dm de maths

[chacha778]

Bonsoir à tous, j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas réellement. Le voici:

1. Soient z₁ et z₂ deux nombres complexes quelconques. Développer (z₁ + z₂ )² et en déduire (z₁ + z₂ )⁴

pour le premier je trouve alors (z₁ )² + 2 * z₁ * z₂ + (z₂ )² soit z₁²  + 2z₁z₂ + z₂²  ? Pour le deuxième je ne vois pas comment faire pour la déduction

2. Établir que: cos(x)= 1/2(e^ix + e^-ix ), soit sin(x)= 1/2i(e^ix - e^-ix ) soit i/2(e^-ix -e^ix ) ?

3. Déduire des deux questions précédentes que cos⁴ x= 1/4cos(2x) + 1/8cos(4x) +3/8

4. En déduire la valeur de intégrale de O à pi sur 2 ( soit le 0 en bas et le pi sur 2 en haut) de cos⁴ (x) dx

Pour cette question on donnera une valeur approchée de l'intégrale ainsi que la valeur exacte.

J'ai essayé de chercher mais je ne vois pas comment réussir ces questions. Merci d'avance pour votre aide, bonne soirée !

 

 

[Invité]

Bonsoir,

Je suppose qu'on veut vous voir multiplier z₁²  + 2z₁z₂ + z₂² par lui-même.

J'ai comme un doute sur la formule citée en 3/

[chacha778]

Bonsoir, je pensais pour la première question remplacé les Z par x+iy ? Je ne suis pas sûr

Pour la formule du 3, le prof nous a fait modifié cette formule qui de base était 1/8 pour au final mettre 1/4

[Invité]

Selon moi, c'est cos⁴ x= 1/2cos(2x) + 1/8cos(4x) +3/8

 

Pour la 1/ il faut effectuer le produit (z₁²  + 2z₁z₂ + z₂² ) (z₁²  + 2z₁z₂ + z₂² )

[chacha778]

Oui en effet, mais il l'a modifié pour mettre 1/4 pour je ne sais quelle raison

[Invité]

Je ne sais pas non plus, l'un de nous deux se trompe.

[chacha778]

Du coup impossible de trouver le bon résultat..

[Invité]

Le "bon résultat" existe. Il suffit de faire les calculs (sans se tromper évidemment). Déjà, la 1/

[chacha778]

Pour la 1 je trouve 4x^2 -4y ?

[Invité]

Non, vous n'avez pas lu ce que j'ai écrit. z₁ et z₂ sont deux nombres complexes , c'est vrai, mais il s'agit ici d'effectuer un simple calcul algébrique .

On pourrait demander de calculer (a+b)⁴, a et b étant des réels.

(z₁+z₂)⁴=(z₁+z₂)²(z₁+z₂)²= (z₁²  + 2z₁z₂ + z₂² ) (z₁²  + 2z₁z₂ + z₂² )

il suffit de développer ce qui est écrit en bleu puis de regrouper les termes semblables

[chacha778]

En effet je n'avais pas vu le message..

Je trouve donc en developpant Z1^2 +Z1^22Z1Z2 + Z1^2Z2^2 + 2Z1Z2Z1^2 +4Z1Z2 + 2Z1Z2+Z2^2 ?

[Invité]

Non, je vous donne le résultat car il est tard , mais voyez déjà que z₁² *z₁² =z₁⁴

(z₁²  + 2z₁z₂ + z₂² ) (z₁²  + 2z₁z₂ + z₂² ) =z₁⁴+4z₁³ z₂+6z₁² z₂² +4z₁z₂³+z₂⁴     (1)

Quelques indications pour la suite car j'arrête pour ce soir.

2/ e^ix=cosx+isinx et e^-ix=cosx-isinx en additionnant et retranchant membre à membre on obtient les relations demandées.

3/ Dans (1) faire z₁=e^ix/2 et z₂=e^-ix/2

4/ simple calcul d'intégrales. On doit trouver I=3pi/16

 

[chacha778]

Merci pour votre aide

 

[chacha778]

Bonsoir, j'ai ainsi fini toutes les questions hormis la 3 qui me bloque toujours autant.. j'ai suivie ce que vous aviez dit puis remplacé e^ix par cos(x) + isin(x) /2 mais ne vois pas comment poursuivre..

[Invité]

Vous avez fait la 2/ ? Et suivi le conseil pour la 3/ ?

[chacha778]

Pour la 2 oui j'ai fais 1/2(cos(x) + isin(x) + cos(x) - isin(x)) soit 2/2 cos(x) + cos(x) donc cos(x)

Pour la 3 j'en suis a avoir mis tout sur 2, puis j'ai mis 1/2(cos(x)+isin(x)/2 +cos(x)-isin(x)/2)^4 ?

[Invité]

Pour la 3/ je vous ai dit de faire z₁=e^ix/2 et z₂=e^-ix/2 dans z₁⁴+4z₁³ z₂+6z₁² z₂² +4z₁z₂³+z₂⁴  =(z₁+z₂)⁴

puisque cos⁴x =(e^ix/2 +e^-ix/2)⁴

[chacha778]

Et il faut que je developpe les (e^ix/2)^4 et ^2 ?

[Invité]

Ben oui, mais c'est immédiat. Rappel (a^x)^y=a^xy ,

[chacha778]

Je trouve ainsi e^2ix +4×e^3/2ix × e^-ix +6× e^ix × e^-ix + 4 × e^ix/2 × e^-3/2ix + e^-2ix ?

[Invité]

Désolé, je vous ai induit en erreur dans mon précédent message (que j'ai rectifié) . Je vous donne le calcul

cos⁴x =(e^ix/2)⁴+4(e^ix/2)³(e^-ix/2)+6(e^ix/2)²(e^-ix/2)²+4(e^-ix/2)(e^-ix/2)³+(e^-ix/2)⁴ = e^4ix/16+4 (e^3ix/8) (e^-ix/2)+6 (e^2ix/4)(e^-2ix/4)+4 (e^ix/8) (e^-3ix/2)+e^-4ix/16

..........= (e^4ix+e^-4ix)/16 +4 (e^2ix+e^-2ix)/16+6/16=cos(4x)/4 + cos(2x)/2 + 3/8

[chacha778]

Ce n'est pas un soucis, merci beaucoup pour votre aide !

[Invité]

OK.

Je reviens en arrière. J'avais interprété (à tort) e^ix/2, comme étant e^ix/2 au lieu de e^ix/2. En élevant à la puissance 4, le premier donne effectivement e^2ix , mais le second e^4ix/16