Théorème de Rolle

[est01]

Bonsoir,

j’ai juste un petit problème pour un exercice qui, je pense est tout simple 

on a f(a)=f(b)=0

f continue sur (a,b), dérivable sur )a,b(

en déduire que f’’ s’annule entre a et b

 

Je pense utiliser le théorème de Rolle, ainsi cela me dira que f’ s’annule, comment le montrer pour f’´ ?

 

merci et bonne soirée 

[Invité]

Bonsoir,

Il faudrait démontrer que f' s'annule deux fois;

x₀ étant un point de l'intervalle, vous pouvez considérer la fonction g(x)=f(x)-f(x₀)(x-a)(x-b)/(x₀-a)(x₀-b)

et appliquer cette idée à g.

[est01]

Bonjour ,

merci de votre réponse 

je ne comprends pas d’ou Vient cette fonction g et je ne comprends pas en quoi montrer que f’ s’annule deux fois peut montrer que f’´ s’annule ...

[est01]

J’ai oublié de préciser que j’avais x0 dans )a,b( tel que f(x0)=0

[Invité]

Je voulais vous indiquer comment créer une fonction , g(x), telle que g(a)=g(x₀)=g(b)=0

En appliquant Rolle, on en déduit qu'il existe c et d , avec a<c<x₀ et x₀<d<b tels que g'(c)=g'(d)=0

Puis à nouveau on applique Rolle à g' sur l'intervalle [c ; d]

Si votre fonction f est telle que f(a)=f(x₀)=f(b)=0, il n'y a rien à créer, simplement lui appliquer ce qui précède.

[est01]

Vraiment, c’ets Tout simple mais je ne comprends pas comment utiliser Rolle

[Invité]

Le théorème de Rolle nous dit que si f est continue sur [a;b], dérivable sur ]a; b[ et telle que f(a)=f(b), alors il existe au moins un c dans ]a; b[ tel que f'(c)=0

Ici, ayant vérifié que f  et  f'  satisfont aux conditions d'application du théorème,

f(a)=f(x₀)=0 => il existe c dans ]a; x₀[ tq f'(c)=0

f(x₀)=f(b)=0 => il existe d dans ]x₀; b[ tq f'(b)=0

Puis f'(c)=f'(d)=0 => il existe η dans ]c; d[ tel que f''(η)=0

[Invité]

f(x₀)=f(b)=0 => il existe d dans ]x₀; b[ tq f'(d)=0, bien sûr