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MATRICES MAGIQUES


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Bonjour à tous, 
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît pour cet exercice qui est assez pressé. En temps normal, je maitrise plutôt bien les matrices, mais là je bloque complètement! 

Q1. Montrer que si M est une matrice magique de formât nxn , alors  sa transposée est aussi magique . On admet que  Si M et N sont des matrices magiques de format nxn et si lambda.gifappartient.gifR.gifalors lambda.gifM+N est magique. 

Je ne vois pas comment faire , à part dire que la somme des termes de la nième ligne de la transposée  est la somme des termes de la nième colonne de M et donc , il en est de même pour la somme sur chaque colonne de la transposée , et inversement;  et que la diagonale de la transposée est exactement la diagonale de la matrice. Mais je ne vois pas comment le démontrer !  Faut-il que somme des a1,j pour j de 1 à n= somme des a2,j pour j allant de 1 à n= ....=somme des an,j pour j allant de 1 à n=somme des ai,1 pour i allant de 1 à n=....=somme des ai,n pour i allant de 1 à n=somme ai,i pour i allant de 1 à n=somme des aj,j pour j allant de 1 à n? 

Q2. On rappelle que toute matrice carrée M peut s'écrire sous la forme M=A+S avec S matrice symétrique et A matrice antisymétrique et être décomposition est unique. 
Soit M une matrice magique de format nxn, déduire de la question précédente que A et S sont magiques. Calculer tr(A) et tr(S) en fonction de tr(M). 

M= S+A magique donc d'après la question 2 tM est magique aussi, ie tS+tA est magique, ie S-A magique mais comment montrer que S et A sont magiques et comment calculer leur trace? 

Q3. Déterminer toutes les matrices magiques antisymétriques de format 3x3. 
Une matrice est antisymétrique si aj,i=-ai,j 
Pour la diagonale, ai,i=-ai,i donc ai,i=0
 
Ensuite je ne vois pas... 

Q4.a). Montrer que si T est une matrice symétrique magique de format 3x3 vérifiant tr(T)=0, alors T peut être décrie à l'aide d'un unique paramètre réel et donner la forme de T à l'aide de ce paramètre. 

b). Soit m une matrice magique symétrique de taille 3x3 et soit M'=3M-tr(M)J, J étant la matrice composée de 1 uniquement . Montrer que M' est une matrice magique symétrique vérifiant tr(M')=0 

c)En déduire la forme des matrice magiques symétriques de format 3x3 

Je n'ai acune idée de comment répondre à ces questions, ce qui me perturbe c'est que l'on a aucune valeurs!! 

Q5. En déduire la forme dans matrices magiques de format 3x3. 

J'ai vraiment besoin de votre aide, qui souvent, est très précieuse.... 
Je vous remercie par avance et vous souhaite une bonne fin de journée 

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