exercice sur les sommes (maths sup)

[est01]

Pourriez-vous s'il vous palpait, m'aider pour cet exercice sur les sommes 
J'ai réussi seulement la première question 

Voici l'énoncé: 
1.Etablir que pour tout x0, on a x-1/x²ln(1+x)x 

2. en déduire que n, 
[(n+1)(6n²-2n-1)]/12n³k=1 jusqu'à n deln(1+k/n²)(n+1)/2n
On utilisera les sommes de références (somme des k de 1 àn= n(n+1)/2 et sommes des k² de 1 à n= n(n+1)(2n+1)/6 

3. Pour n, on pose u_n= de k=1 jusqu'à n de ln(1+k/n²). 
Montrer que lim en + de u_n=e 

1. J'ai réussi cette question en étudiant le signe de 2 fonctions 

2 . Je pose x= k/n^2 mais je ne sais pas comment montrer cette inégalité 
3. je ne vois pas non plus 

 

merci d'avance 
 

[Invité]

Bonjour,

Vous êtes en Terminale et faites des exercices de Math-Sup ?

Pour la 3/, ça m'étonnerait que ce soit le produit des logarithmes. C'est plutôt le produit des (1+k/n²),  k variant de 1 à n

Pour la 2/, il faut utiliser la double inégalité du 1/ où l'on fait x=k/n², et on additionne membre à membre de k=1 à k=n

Ensuite en faisant tendre n vers +oo, on voit que lim∑ln(1+k/n²)=1/2

Puis comme ∑ln(1+k/n²)=ln(∏(1+k/n²)), on conclut