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exercice sur les sommes (maths sup)


est01

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Pourriez-vous s'il vous palpait, m'aider pour cet exercice sur les sommes 
J'ai réussi seulement la première question 

Voici l'énoncé: 
1.Etablir que pour tout xsupegal.gif0, on a x-1/x2infegal.gifln(1+x)infegal.gifx 

2. en déduire que quelquesoit.gifnappartient.gifN*.gif, 
[(n+1)(6n2-2n-1)]/12n3infegal.gifsomme.gifk=1 jusqu'à n deln(1+k/n2)infegal.gif(n+1)/2n
On utilisera les sommes de références (somme des k de 1 àn= n(n+1)/2 et sommes des k2 de 1 à n= n(n+1)(2n+1)/6 

3. Pour nappartient.gifN.gif, on pose un=produit.gif de k=1 jusqu'à n de ln(1+k/n2). 
Montrer que lim en +infini.gif de un=racine.gife 

1. J'ai réussi cette question en étudiant le signe de 2 fonctions 

2 . Je pose x= k/n^2 mais je ne sais pas comment montrer cette inégalité 
3. je ne vois pas non plus 

 

merci d'avance 
 

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Bonjour,

Vous êtes en Terminale et faites des exercices de Math-Sup ?

Pour la 3/, ça m'étonnerait que ce soit le produit des logarithmes. C'est plutôt le produit des (1+k/n2),  k variant de 1 à n

Pour la 2/, il faut utiliser la double inégalité du 1/ où l'on fait x=k/n2, et on additionne membre à membre de k=1 à k=n

Ensuite en faisant tendre n vers +oo, on voit que lim∑ln(1+k/n2)=1/2

Puis comme ∑ln(1+k/n2)=ln(∏(1+k/n2)), on conclut

 

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