Tableau de variations

[Amiedetous]

Bonjour à tous!!

Je finalise mes révisions avant la rentrée, et j'ai fait un exercice pour lequel j'aimerai avoir une vérification s'il vous plait...

Voici l'exo :

On a un tableau de variation d'une fonction g:

x     -5              -3                 0               4                  6

g(x)-2^croissante4^{décroissante}-3^croissante5^{décroissante}1

Question : Est-ce correcte d'affirmer f(1)<=f(3) ?

Je mettrai que c'est faux car f(1) ne peut jamais être égal à f(3) (puisque la fonction est croissante sur l'intervalle [0;4].

Merci d'avance pour votre réponse.

[Amiedetous]

J'ai aussi une question pour ce qui est de la notation, est-ce que ici c'est juste d'écrire "croissante sur [0;4] ou il vaut mieux écrire sur ]0;4[ s'il vous plait?

[Invité]

Bonjour,

1/ Dans la qualification "inférieur ou égal', le "ou" signifie que l'une des propositions est vraie. Il n'est donc pas incorrect d'écrire f(1)<=f(3).

Cependant, Il est vrai que comme il s'agit de valeurs numériques (ou si l'on voulait exploiter le fait que f est croissante sur cet intervalle) on utiliserait  plutôt le symbole d'inégalité stricte. Tout dépend de ce qu'on veut faire.

D'une façon générale, en maths, sauf nécessité particulière pour les besoins  d'une démonstration, on utilise toujours les relations d'inégalité au sens large.

2/ Utiliser les crochets ouverts  incline à penser qu'il y a une "anomalie" aux bornes. Soit que le fonction n'y est pas définie, soit qu'elle y prend, par définition,  une autre valeur que celle qui se déduirait par continuité. Par exemple ici, on pourrait considérer la fonction g(x) qui serait égale à f(x) en tous points, sauf en x=4, où l'on aurait défini g par g(4)=-7.

Tout ça pour dire que, selon moi,  ce ne serait pas faux d'utiliser les crochets ouverts, mais que la fonction étant continue aux bornes, il vaut mieux dire qu'elle est croissante sur le fermé.

Vous aurez peut-être d'autres avis.

[Amiedetous]

D'accord, je vous remercie beaucoup pour cette réponse !!!!

[Invité]

Pour être tout à fait clair :

- f(1) et f(3) sont des valeurs numériques connues. On constate que l’une est plus petite que l’autre. C’est une réalité. On utilisera donc naturellement le symbole d’inégalité stricte, sans pour autant que l’autre notation soit « fausse ».

- par contre, pour une démonstration, on privilégie toujours l’hypothèse la plus faible , ici l’inégalité au sens large, et l’on n’utilise l’inégalité stricte que lorsque c’est absolument nécessaire.