Nombres complexes

[mwilli]

Bonjour à tous,

S'il vous plaît, merci de votre aide pour cet exercice:

a) Soient M1, M2 et M3 des points du plan d'affixes respectives z1, z2 et z3. Montrer que ces points sont alignés si et seulement si:  

z1z2 (barre sur le z2) + z2z3 (barre sur z3) +z3z1 (barre sur z1) = z2z1 + z3z2 + z1z3 (toujours barre sur le dernier). 

b) A et B sont deux points distincts d'affixes respectives a et b tels que |a| =  |b| = 1. 

Montrer qu'un point M d'affixe z appartient à la droite (AB) si et seulement si z + abz (barre sur z) = a + b.

Merci d'avance pour vos explications détaillées (comme d'habitude).

Bien cordialement

 

[Invité]

Bonjour mwilli,

Je désigne par a* le conjugué de a.

M1, M2 et M3 sont alignés ssi (z2-z1)/(z3-z1) est un réel. (cela équivaut à la relation vectorielle M1M2 = k M1M3, k réel,  qui exprime la colinéarité des 2 vecteurs).

Or (z2-z1)/(z3-z1) est un réel ssi il est égal à son conjugué, soit (z2-z1)/(z3-z1) = (z*2-z*1)/(z*3-z*1), relation équivalente à

(z2-z1)(z*3-z*1) = (z*2-z*1)(z3-z1), soit en développant  z2 z*3-z1 z*3 -z2 z*1 +z1 z*1 = z*2 z3 -z*2 z1 -z*1z3 +z*1 z1, équivalent à

z1 z*2+ z2 z*3 + z3 z*1 = z*1 z2 + z*2 z3 + z*3 z1 qui est la relation proposée

La suite plus tard...

[Invité]

La suite.

On utilise la relation que l'on vient de démontrer en remplaçant z1 par z,  z2 par a et z3 par b. (je m'aperçois que je n'ai pas utilisé la balise "indice" dans ce qui précède , mais bon, c'est lisible, et si ça chagrine quelqu'un, désolé). En arrangeant un peu, on obtient

z(a*-b*) + z* (b-a) =a*b-ab*   (1)

On va maintenant utiliser le fait que |a|=aa*=|b|=bb*=1

a*b-ab*=1-1+a*b-ab* = aa*-bb*+a*b-ab* = (a+b)(a*-b*) et par ailleurs,

b-a = (aa*)b- (bb*)a =ab (a*-b*)

(1) s'écrit donc

z(a*-b*) + z* ab (a*-b*) =(a+b)(a*-b*) il ne reste plus qu'à tout diviser par a*-b*, non nul par hypothèse, pour obtenir

z + z* ab  =(a+b)

ce qu'on voulait.

 

 

[Invité]

Une erreur, sans incidence ici, mais je rectifie

|a|=(aa*)=|b|=(bb*) = 1 (donc aussi =aa*=bb* ici, mais c'est un cas particulier)

[mwilli]

Bonjour JLN,

Merci infiniment et désolé pour retard de réaction (je n'avais pas de connexion...)

Je vais maintenant étudier à fond ce que vous avez bien voulu mettre à disposition et après quoi, éventuellement vous envoyer la toute dernière question de l'exercice, si bien entendu, je ne pourrai pa la résoudre seul à la lumière de vos explications détaillées.

Cordialement