Aller au contenu

Espace Vectoriel


Ch00Ch00

Messages recommandés

Bonjour, 

J'ai un exercice à faire et voici ce que j'ai fait.

Exercice 1: 

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d'un C-espace vectoriel E. Montrer que: ( F U G est un sous-espace vectoriel de E) <=> ( F ⊂ G ou G ⊂ F) 

J'ai utilisé la méthode du raisonnement par l'absurde: 

On suppose que F ⊄  G et G ⊄  F

∃x   F, x ∉ G I  ∃x   G, x ∉ F

On pose u = x + y,   F et y ∈ G ; x  ∈ F U G et y ∈ F U G 

On suppose que u ∈ F 

y = u - x , u ∈ F, x ∈ F, y ∈ F impossible 

x = u - y, u ∈ G, y ∈ G, x = u - y ∈ G impossible 

F U G est un sev de E et ( F ∉ G ou G ∉ F ) est fausse, on a donc ( F U G =>  F   G et G   F).

// // // // // // // // 

J'ai un ami qui a fait:

( F U G est un sous-espace vectoriel de E) <=> ( F ⊂ G ou G ⊂ F) 

<=>*Si F ⊂ G 

F U G = G, F U G est un sev de E

     *Si  G ⊂ F

GUF = F, F U G est un sev de E 

On a F U G est un sev si F ⊂ G et vérifié et G ⊂ F 

Est-ce que les deux méthodes fonctionnent ? 

 

Exercice 2: 

2.JPG.8a13c25fc2355d826dd7e60b797db472.JPG

On pose u = (x,y) ∈ F1 <=> x +  y = 0

<=> y = - x 

<=> u = (x, - x)

On pose u = (x,y) ∈ F1 <=> x -  y = 0

<=> y =  x 

<=> u = (x,  x)

Après ici, je ne sais plus quoi faire. 

Exercice 3:

22.JPG.69d946e46d4c2d047e49a044dd568d71.JPG

Je n'ai pas réussi pour cette exercice. 

 

Merci d'avance pour vos aides, 

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

Bonjour,

1/ Votre idée est la bonne pour montrer le sens direct, et celle de votre ami pour la réciproque.:)

2/ On  déduit de ce que vous avez fait que (1,-1) est une base de F et (1,1) une base de G. Il suffit de montrer que ces 2 vecteurs sont indépendants. A eux deux ils constituent alors une base de R2 qui est de dimension 2. Les 2 sev sont donc en somme directe.

3/ Je ne comprends pas bien ce qu'on veut vous faire écrire. Un polynôme de degré n s'écrit

P(X)=a0+a1X+a2X2+...+anXn

Les polynômes 1, X, X2...Xn constituent la base canonique de Rn[X] par construction si j'ose dire.

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

Bonsoir JLN

Pour l'exercice 1, ma méthode par l’absurde convient le mieux ? 

Pour l'exercice, donc j'obtiens: 

On pose u = (x,y) ∈ F1 <=> x +  y = 0

<=> y = - x 

<=> u = (x, - x) = x(1 ; -1)  F1 appartenant à F

On pose u = (x,y) ∈ F1 <=> x -  y = 0

<=> y =  x 

<=> u = (x,  x) = x(1 ; 1)

G appartenant à F1

 

u = (x,y) appartenant à ( F G ) <=> u appartenant à F et u appartenant à G 

<=> x + y =0 

<=> x - y = 0 

Donc x = 0 et y = 0

u = (0 ; 0) appartenant à 0E

Est- ce bon ? 

 

Merci d'avance, 

 

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

Bonjour Ch00Ch00,

Pour le 1/ votre méthode par l'absurde convient pour le sens direct : si F U G est un sev, alors   F   G et G   F.

Mais il faut aussi démontrer la réciproque (qui est triviale, mais quand même...) et là il faut l'autre raisonnement.

Pour le 2/ Il faut mieux expliquer ce que vous faites. D'abord montrer que F et G sont des sev (voir ci-dessous), et chercher une base de chacun. Ensuite vous montrez que  ( F  G) est réduit au vecteur nul. OK.

En fait F et G sont deux sous-ensembles de R2 lequel, muni des lois usuelles, est un espace vectoriel. Comme ils sont stables stables par combinaison linéaires de leurs éléments (évident), ce sont des sous-espaces vectoriels (droites vectorielles) et par conséquent chacun contient le vecteur 0.

On est dans un cas très simple. Les seuls sev de R2, sont R2 lui-même, le sous-espace réduit au vecteur nul et les droites vectorielles. Il en résulte que 2 droites vectorielles distinctes sont toujours en somme directe égale à l'espace R2. Mais on est là dans un cas très particulier.

Dans R3 par exemple, il faudrait effectivement faire la démo complète comme vous le faites ici. Deux plans vectoriels distincts ne sont jamais en somme directe; ce sont bien des sev, mais leur intersection n'est pas réduite au vecteur nul.

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

Il y a 2 heures, JLN a dit :

Mais il faut aussi démontrer la réciproque (qui est triviale, mais quand même...) et là il faut l'autre raisonnement.

Trivial car si F   G et G   F, alors F=G et il s'agit bien par hypothèse d' un sous-espace vectoriel. Donc quand je dis "il faut l'autre raisonnement" c'est un tout petit peu exagéré...

Lien vers le commentaire
Partager sur d’autres sites

Archivé

Ce sujet est désormais archivé et ne peut plus recevoir de nouvelles réponses.

×
×
  • Créer...
spam filtering