Espace Vectoriel

[Ch00Ch00]

Bonjour, 

J'aurai besoin de votre aide s'il vous plait à propos des exercices sur les espaces vectoriels. 

Voici ce que j'ai fait: 

 

Mais je n'y arrive pas pour l'exercice 3.

Merci d'avance pour vos aides, 

[Invité]

Bonjour,

 1/ Vous essayez de prendre un contre exemple. D'accord, mais il ne faut pas se contenter de montrer que le rapport ne reste pas constant pour les premiers termes.

Il serait plus simple de prendre u_n= qⁿ et v_n=(λq)ⁿ puis w_n=u_n+v_n= (1+λⁿ)qⁿ et de montrer que le rapport w_n+1/w_n  n'est pas constant pour λ1

2/ La suite que vous prenez en exemple n'est pas arithmétique. Si on prend eux suites arithmétiques à raison positive,  u_n et v_n, la suite u_n-v_n est arithmétique. Voyez-vous pourquoi il n'est pas certain qu'elle soit dans A ?

3/ Quelle est la loi externe ?

[Ch00Ch00]

Bonjour JLN,

Merci beaucoup pour votre réponse. 

Pour la première, donc:

Soit pour tout n appartenant aux entiers naturels, u est la suite définie par u_n = qⁿ  et v est définie par la suite définie par v_n = (λq)ⁿ 

u et v sont deux suites. 

On a alors u appartenant à G et v appartenant à G

Montrons que u + v n'appartenant pas à G. Soit w = u + v = (1+λn)qn

w est définie pour tout n appartenant à N. 

W_n+1 / W_n = (1+λⁿ⁺¹)*qⁿ⁺¹ / (1+λⁿ)*qⁿ = (1+λⁿ⁺¹)*qⁿ / (1+λⁿ)

Est-ce bien ça ? 

 

Pour la deuxième, 

Donc je dois prendre deux suites arithmétiques à raison positive, puis vérifier que la suite un-vn est arithmétique car on définit la sosutraction de u et v comme étant la somme de u et de l'opposé de v c'est à dire u - v = u + (-v) ? 

C'est encore un peu confus pour moi. Voici ce que j'ai essayé de faire:

Soit (un) et (vn) deux suites et A et B deux réels. 

(un) est une suite de raison positive r,

Il existe r appartenant IR, pour tout n appartenant aux entiers naturels, un+1 = un + r 

(vn)  est une suite de raison postive r',

Il existe r' appartenant IR, pour tout n appartenant aux entiers naturels, vn+1 = vn + r'

On pose w = u + v. On a alors pour tout n appartenant N, wn+1 = un+1 + vn+1 

wn= A(un+r) + B(vn + r')

D'où pour tout n appartenant aux entiers naturels, wn+1 = A(un+r) + B(vn+r') = Aun + Bvn + Ar + Br'

On pose R = Ar + Br', pour tout n appartenant à N, wn+1 = wn + R 

Après je ne sais pas comment conclure. 

 

Pour la troisième, 

La loi externe, l'espace vectoriel (E, +) est commutatif et associatif et admet un unique élément neutre 0_E et un unique sysmétrique pour tout élément de E. 

Merci d'avance, 

 

[Invité]

1/ Je corrige W_n+1 / W_n = (1+λⁿ⁺¹)*qⁿ⁺¹ / (1+λⁿ)*qⁿ = (1+λⁿ⁺¹)*q/ (1+λⁿ)

Il faudrait donc qu'il existe une constante k telle que, pour tout n, (1+λⁿ⁺¹)/ (1+λⁿ)=k

équivalent à λⁿ (λ-k)= k-1, ce qui impliquerait que λⁿ est constant. Impossible, sauf si λ=k=1

2/ Le seul truc à voir c'est que rien ne garantit que r-r' soit positif, et donc que la combinaison linéaire u + (-1)*v soit dans A;

3/ Ma question portait sur l'énoncé lui même qui me paraît incomplet. A quoi est-égal λ*(x,y) ?

 

[Ch00Ch00]

il y a 5 minutes, JLN a dit :

1/ Je corrige W_n+1 / W_n = (1+λⁿ⁺¹)*qⁿ⁺¹ / (1+λⁿ)*qⁿ = (1+λⁿ⁺¹)*q/ (1+λⁿ)

Il faudrait donc qu'il existe une constante k telle que, pour tout n, (1+λⁿ⁺¹)/ (1+λⁿ)=k

équivalent à λⁿ (λ-k)= k-1, ce qui impliquerait que λⁿ est constant. Impossible, sauf si λ=k=1

2/ Le seul truc à voir c'est que rien ne garantit que r-r' soit positif, et donc que la combinaison linéaire u + (-1)*v soit dans A;

3/ Ma question portait sur l'énoncé lui même qui me paraît incomplet. A quoi est-égal λ*(x,y) ?

 

 

Merci pour votre réponse, 

Pour la 3, 

IR * E   ->   E 

λ*(x₁,y₂)  -> (x₁^λ ; λ*y₁) 

[Invité]

3/ u et v étant deux vecteurs et λ un scalaire, il faut que

λ*(u+v) =λ*u+λ*v

On est donc conduit à vérifier qu'ici, λ*[(x1, y1)+(x2, y2)] est bien égal à λ*(x1, y1)+ λ*(x2, y2).

Qu'en pensez-vous ?

[Invité]

J'ai l'impression que j'ai mal lu. Pour la loi externe s'agirait-il de λ*(x₁,y₂)  -> (x₁^λ; λ*y₁) ?? A confirmer par Ch00Ch00...

[Invité]

De toutes façons, il faut commencer par vérifier que la loi + est bien une loi de groupe, ce qui ne semble pas garanti...

[Ch00Ch00]

Bonsoir JLN, 

Pour l'exercice 1, il faut démontrer que (E, + , .) est un espace vectoriel. Pour cela il faut démontrer par les huit points, c'est un exercice assez long. 

C'est à dire, u1+u2 = u2 + u1 ....   u1+(u2+u3) = (u1+u2)+u3 ... 

Merci beaucoup, 

[Invité]

Bonsoir,

Il ne m'est pas possible de rester connecté ce soir. Je suppose qu'il s'agit de l'exercice n° 3.

Oui, si l'on veut montrer que c'est un ev, on doit tout vérifier. Ce n'est pas si long que cela.

 

[Ch00Ch00]

Oui, c'est bien cela. Je ne maîtrise pas encore assez bien les espaces vectoriels. Il faut je m'entraîne davantage.

Merci beaucoup JLN

[Invité]

Il faut s'exercer, oui. Vous êtes arrivée à quelle conclusion ici ?