Espace vectoriel

[Matbox]

Bonjour j'ai besoin de quelques pistes d'idées pour avancer dans mon exercice 

Svp

Cordialement

[Invité]

Bonsoir,

Il faudrait nous dire ce qui vous gêne là-dedans et ce que vous avez commencé à faire.

La 1 consiste à s'assurer que les axiomes qui définissent un espace vectoriel sont bien respectés.

[Matbox]

Pour la question 1 il faut bien montrer que ce sont des sous espaces vectoriel d'un espace vectoriel mais je ne vois pas lequel 

[Invité]

C'est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions réelles (de IR dans IR). Il suffit de vérifier (de dire ?) que cet ensemble n'est pas vide (encore heureux...) et que toute combinaison linéaire de fonction continue est continue.

[Matbox]

d'accord il suffit de montrer que ce sous espace vectorielle est stable par l’addition et la multiplication ?

 

Ensuite pour ce qui est qui est de la question 3 il faut simplement se ramener a la définition d'une application linéaire

 

Mais pour la 2 je suis complètement perdu

[Invité]

Pour la 2/, il faut montrer que 

Φ(f) est de classe C¹ de IR dans IR (réelle, continue, dérivable et de dérivée continue),

 que Φ(f)(0)=Φ'(f)(0) =0

et que Φ' est dérivable en 0.

Ce sont les conditions à remplir pour qu'une fonction appartienne à F.

[Matbox]

enfin pour la 4  je ne vois pas s'il faut utiliser la définition de la surjectivité du cours sur les espaces vectorielle ou l'autre ? 

[Invité]

Le mot espace est masculin, donc l'espace il est (ou il n'est pas) vectoriel (pas vectorielle).

Je ne sais ce que vous entendez par définition de la surjectivité du cours sur les espaces vectoriels. Si c'est celui qui dit que toute application linéaire injective est surjective, il ne s'applique pas ici car on n'est pas en dimension finie.

Il faut montrer que tout élément de F a au moins un antécédent dans E.

[Matbox]

Pour la questiom 4 est ce que si je réussi a montrer que Im(phi)=F suffit pour montrer que phi est surjective ?

[Invité]

Oui, mais ça risque de ne pas être simple, car il faut y aller par double inclusion (ce sont des ensembles).

Or on vous propose une méthode. On choisit une fonction g quelconque dans F. On considère alors la fonction f(x)=g(x)/x.

Il vous suffit de montrer que f est continue . Sur IR\{0} c'est assez évident. Reste à montrer qu'elle est aussi continue en 0.

Ensuite il vous faudra vérifier que Φ(f)=g

[Matbox]

comment montre t'on que phi(f)=g ?

Et comment montre t'on  tout élément de F a au moins un antécédent dans E ?

[Invité]

il y a une heure, Matbox a dit :

comment montre t'on que phi(f)=g ?

Et comment montre t'on  tout élément de F a au moins un antécédent dans E ?

(f) = _[0->x) t (g'(t)/t) dt =...

Ensuite on a choisi dans F un élément quelconque et on a construit une fonction qui appartient à E et dont l'image par est l'élément choisi dans F. Donc tout élément de F a au moins un antécédent dans E (celui qu'on a construit).

[Matbox]

après avoir fait cela j'aurais donc montrer que f appartient a E et que  phi est donc surjective ?

 

Comment choisi la fonction a construire dont vous me parlez ?

 

[Invité]

On vous la donne c'est f=g'(x)/x.
A condition bien sûr d'avoir montré que f appartient à E (cf message de vendredi à 16h41)

[Matbox]

j'ai bien reussi cette partie en suivant vos conseil merci

 

[Invité]

Parfait, à une autre fois peut-être.

[Matbox]

est ce que lorsque une fonction est definie comme une integrale en occurrence phi elle est automatiquement de classe C1 ?

[Invité]

L'intégrale (f)(x) = _[0->x) g(t) dt , g étant continue, est une fonction continue de x, qui est dérivable, sa dérivée étant g (donc de classe C1) (théorème du cours)

Par contre rien ne dit que la dérivée elle-même (ici g) soit C1.

Mais dans l'exo on suppose g' dérivable en 0 (g"(0)=0) ce qui suffit à démontrer que f=g'(x)/x  est continue en 0 (si c'est cela que vous avez en tête).

[Matbox]

oui merci

enfin je me suis perdu dans la demarche ppour la question 4 pouvez vous me redire les etapes a suivre svp

[Invité]

Citation

 

On choisit une fonction g quelconque dans F. On considère alors la fonction f(x)=g(x)/x.

Il vous suffit de montrer que f est continue . Sur IR\{0} c'est assez évident. Reste à montrer qu'elle est aussi continue en 0.

Ensuite il vous faudra vérifier que Φ(f)=g

 

On suit pas à pas.

Soit g dans F. On considère la fonction f(x)=g'(x)/x. Elle est continue sur IR\{0} puisque g est C1.

Voyons ce qui se passe en 0 lim_[x->0] f(x) =lim_[x->0] g'(x)/x = lim_[x->0] (g'(x)-g'(0))/(x-0) =g"(0) car g admet une dérivée seconde en 0 . f est donc bien continue à l'origine puisque f(0)=g"(0). f est continue pour tout x réel.

f=g'/x est donc bien dans E.

Puis (f) = _[0->x] t g'(t)/t dt = _[0->x] g'(t) dt =g(x) 

f est donc un antécédent de g par . Comme g est quelconque dans F,  est surjective.

[Matbox]

merci beaucoup de votre et patience