Une Tite Aide Svp

[gazgoulette971]

Bonjour j'aurais besoin d'un peu d'aide svp

Le problème est le suivant :

on considère le polynôme P défini par P(z)=z^4-6z^3+24z²-18z+63

D'abord il fallait calculer P(i (racine3)) et P(-i (racine 3)). j'ai obtenu 0 pr les deux. On me dit alors de montrer qu'il existe un polynôme Q du seconde degré à coefficients réels tel que pour tout z appartenant à C on ait :

P(z) = (z²+3)Q(z).

C'est cette partie que je n'ai pas compris je ne sais pas comment démontrer qu'il existe le polynôme Q, j'ai bien pensé en résolvant et concluant mais alors je pense que je par de la fin du raisonnement par contre je sais que Q(z)=z²-6x+21)

Merci d'avance

[philippe]

bonjour,

puisque P(iV(3))=P(-iV(3))=0 alors iV(3) et -iV(3) sont racines de P

donc (c'est dans ton cours qq part):

P(z) se factorise par (z-iV(3))(z+iV(3))=?

autrement dit, il existe un polynôme Q de degré (..?..) tel que P(z)=...

[gazgoulette971]

Ok merci beaucoup pour ça. Maintenant j'ai une deuxième question

J'ai placé dans un plan complexe rapporté au repère orthonormal (o;u;v) les points A,B,C,D d'affixes respectives za=i V3 zb=-iV3 zc=3+2iv3 et zd=conjugué de zc

On me demande de montrer que ces quatres points sont sur un même cercle mais je ne vois pas comment faire ça!!!!!

[philippe]

une solution:

appelle W d'affixe w le centre du cercle.

ABCD sur le cercle de centre W implique

WA=WC qui donne |a-w|=|c-w|

et

WA=WB (vu les affixes de A et B ) donne W est sur (Ox) soit (y=0).

pose w=x+iy et regarde ce que dit |a-w|=|c-w|

[liadidi]

soit I le milieu de [CD] d'affixe zi=3

|zi-zc|=2V3

|zi-za|=2V3

|zi-zb|=2V3

|zi-zd|=2V3

d'où A,B,C et D sont sur le cercle de centre I et de rayon 2V3

cela se voit sur le dessin

voila j'espère que c juste!

[gazgoulette971]

désolée justement je ne comprend pas comment vous avez trouvé ça

|zi-zc|=2V3

|zi-za|=2V3

|zi-zb|=2V3

|zi-zd|=2V3