1 Question Bête

[Valentine]

Je sais que cette question à l'air simple mais je n'arrive pas à comprendre le théorème suivant:

Soit f dérivable en a.Une valeur approchée de f (a+h) est f(a) +f'(a)h lorsque h est "petit".

f(a+h)=f(a)+f'(a)h +hE(h)

avec lim E(h) =o

h->o

Suivit de la définition g:h->f(a)+f'(a)h est une approximation affine de f en a

Merci de m'aider.

[philippe]

bonsoir,

lorsque h est petit, la fonction E peut être négligée; alors

f(a+h)#f(a)+h.f'(a)

Exemple:

prenons f(x)=(1+x)

prenons a=0.

f'(x)=1/(2 (1+x)) et f'(0)=1/2

donc pour h petit:

V(1+h)#1+h/2 (bien à retenir)

exemple numérique: approximation de (1.001)

(1.001)=(1+0.001) ici h =0.001 (petit)

donc

(1.001)#1+0.001/2=1.0005

c'est pas mal puisque (1.001)#1.00049987

histoire de l'approximation affine:

prenons la même fonction et toujours a=0.

une approx affine (en fait la meilleure!) de f en 0 est donnée par la fonction affine:

g:x->1+x/2

y=1+x/2 est l'équation d'une droite.

trace y=(1+x) et y=1+x/2 et regarde (pas interdit de zoomer!) ce qui arrive au point (0;1).

ce que l'on fait avec la dérivation c'est que l'on a la possibilité (ss certaines conditions) de remplacer localement (d'approcher) f(x) par g(x) où g est une fonction affine.

(en allant plus loin dans la démarche, on peut approximer localement une fonction par une fonction du 2nd degré g(x)=a+bx+cx² mais c'est pour plus tard.)

Approximer est très utile par exemple pour le calcul de limites.

par exemple la limite (elle existe crois moi!) en 0 de :

[(1+x)-1]/x?

quand x est petit alors (1+x)#1+x/2

alors

[(1+x)-1]/x#[1+x/2-1]/x=1/2

tout porte à croire que la limite est 1/2 en 0, reste à le démontrer rigoureusement.

Et voila l'affaire.

ps: on démontre que pour h ou x petit

(1+h)^a#1+ah

ou avec des x c'est pareil:

(1+x)^a#1+ax

par exemple,

(1+x)^(1/2)#1+x/2

(1+x)^(1/3)#1+x/3

...

[philippe]

si tu veux t'entraîner, trouve la meilleure approximation affine g pour f en x0 :

f(x)=x² ,x0=1 (trouver g(x)=2x-1)

f(x)=x^3, x0=2 (trouver g(x)=12x-17)

f(x)=2/(1+x) ,x0=3 (trouver g(x)=-x/8+7/8)

f(x)=x:sqrt:x ,x0=1 (trouver g(x)=3x/2-1/2)

A retenir donc:

soit f donnée définie en x0=a.

la meilleure approximation affine pour f en a est donnée par:

g(x)=y=f(a)+f'(a).(x-a)

(c'est aussi l'équation de la tangente à la courbe Cf en x=a)

[grec]

phillipe t au moins (futur) prof ? nan ?