evil07 Posté(e) le 6 octobre 2016 Signaler Posté(e) le 6 octobre 2016 Bonjour, j'ai un exercice qui me pose problème car je ne vois pas comment le résoudre, le voici : Soit f : E---> F une application , comparer: - Pour A une partie de E f(f-1(f(A))) et f(A) -Pour B une partie de F f-1(f(f-1(B))) et f-1(B) J'ai réussi à trouver grâce à des "dessins" qu'il fallait montrer que les comparaisons étaient égales mais je n'arrive pas à le prouver, merci d'avance pour votre aide!
CitronVert Posté(e) le 6 octobre 2016 Signaler Posté(e) le 6 octobre 2016 Salut. En quelle classe es-tu ?
evil07 Posté(e) le 6 octobre 2016 Auteur Signaler Posté(e) le 6 octobre 2016 Première année de licence de math et je viens d'un bac ES
CitronVert Posté(e) le 6 octobre 2016 Signaler Posté(e) le 6 octobre 2016 Je te donne une solution mais je ne sais pas si ça va te parler car ce sont des maths assez "fondamentales". N'hésite pas à me dire si tu penses qu'il faudrait faire autrement. Tu peux déjà montrer que : Pour toute partie A de E, f-1(f(A)) = A et pour toute partie B de F , f(f-1(B)) = B. Je pars du principe que f est bijective, sinon l'appellation f-1 ne serait pas bien définie. Si ce n'est pas le cas, il faut que tu me donnes la définition de la réciproque de ton cours. Démonstration : (1) f-1(f(A)) = A (a) f-1(f(A)) ⊂ A Soit x dans f-1(f(A)). Alors par définition il existe x' dans A tel que x = f-1(f(x')). Donc x' = x, donc x appartient à A. (b) A ⊂ f-1(f(A)) Soit x dans A. Alors f-1(f(x)) = x. Donc il existe x' appartenant à A tel que x = f-1(f(x')) (c'est simplement x' = x). Donc x appartient à f-1(f(A)). (2) Démonstration totalement analogue pour une partie B de F. Une fois cette propriété démontrée les égalités demandées deviennent évidentes.
CitronVert Posté(e) le 6 octobre 2016 Signaler Posté(e) le 6 octobre 2016 Oublie mon précédent message, sauf pour la méthodologie. Peux-tu me donner la définition de l'image réciproque de ton cours ?
evil07 Posté(e) le 6 octobre 2016 Auteur Signaler Posté(e) le 6 octobre 2016 Merci de ta réponse, mais notre prof nous a dit qu'il ne fallait pas utiliser la bijection car ici ce n'est pas des éléments mais des parties d'un ensemble. Image réciproque : Soit f : E-->F une application donnée, f : P(F)--->P(E) B--->f(B)= {x appartient à E tel que f(x) appartient à B}
CitronVert Posté(e) le 6 octobre 2016 Signaler Posté(e) le 6 octobre 2016 J'ai tout fait au cas où, mais je te conseille de simplement lire l'allure du raisonnement puis d'essayer de faire l'exercice toi-même. ------------------------------------------------------- Pour commencer, on remarque comme propriété utile que A ⊂ f-1(f(A)). En effet, si x appartient à A alors f(x) appartient à f(A). Donc par définition, x appartient à f-1(f(A)). (1) f(f-1(f(A))) et f(A) (a) f(A) ⊂ f(f-1(f(A))) A ⊂ f-1(f(A)), donc f(A) ⊂ f(f-1(f(A))) (b) f(f-1(f(A))) ⊂ f(A) Soit y appartenant à l'ensemble f(f-1(f(A))). Donc il existe x appartenant à f-1(f(A)) tel que y=f(x). Comme x appartient à f-1(f(A)), f(x) appartient à f(A). Donc y appartient à f(A). (2) f-1(f(f-1(B))) et f-1(B) . Cette partie est plus difficile car il faut garder à l'esprit que B peut être plus grand que f(E). (a) f-1(B) ⊂ f-1(f(f-1(B))) Soit x appartenant à f-1(B). Alors f(x) appartient à f(f-1(B)). Et x appartient à E donc f(x) appartient à F. Donc par définition de l'image réciproque,x appartient à f-1(f(f-1(B))). (b) f-1(f(f-1(B))) ⊂ f-1(B) Soit x appartenant à f-1(f(f-1(B))). Donc f(x) appartient à f(f-1(B)). Or f(f-1(B)) ⊂ B par définition de f-1(B). Donc f(x) appartient à B. Donc x appartient à f-1(B).
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