MPSI: Logique

[Ch00Ch00]

Bonjour, 

J'aurai besoin de vous pour m'aider, car je ne sais pas comment rédiger. Et pourriez me corriger mes fautes. 

Je vous remercie d'avance

 

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[Ch00Ch00]

Et aussi, pourriez-vous m'aider, je sais pas comment justifier. J'aurai juste besoin de l'exemple du le 1) 
Merci d'avance, 

[CitronVert]

Exo 1 :

Bonne démarche, mais le 2è tiret est faux. Pour P faux et Q vrai, (non(P) ou Q) est vrai. Tu as mis que c'est faux. Cette équivalence est donc vraie.

Pour le 3è tiret : 

Pour calculer non(P) ou non(Q), tu regardes les colonnes non(P) et non(Q). Ca donne, de haut en bas, F , V , V , V . Donc l'équivalence est fausse. 

Pour remplir la dernière colonne non(Q) => non(P) (mais je ne sais pas à quoi elle sert), tu fais simplement comme tu as déjà fait pour P => Q. Simplement, au lieu de regarder les colonnes P et Q, tu regardes les colonnes non(P) et non(Q). De haut en bas, ça donne V F V V . Donc P => Q est équivalent à non(Q) => non(P). D'ailleurs, c'est la contraposée.

Exo 2 :

Ici, il faut d'abord que tu réfléchisses à ce que veut dire la proposition pour savoir si elle te paraît vraie ou fausse. Ensuite le prouver. En général quand ça commence par "quel que soit ... ", si c'est faux il suffit de trouver un contre-exemple. Si c'est vrai, il faut le démontrer à partir d'autres propositions vraies.

1) Si un réel est plus grand que 1 , alors il est plus grand que 2. Evidemment que c'est faux ! contre exemple : x = 1.5. On a bien 1.5 > 1 mais pas 1.5  2 , et 1.5 est un réel.

2) Ici c'est vrai. Si n est un entier naturel, alors n > 1 est équivalent à n  2 . Intuitivement, cela veut dire qu'll n'y a aucun nombre (entier) entre 1 et 2. Aucune justification n'est attendue, car cela se déduit des axiomes de l'arithmétique.

3) Si le carré de 2 nombres est égal, alors les nombres sont égaux ? C'est évidemment faux. Contre-exemple : x = -1 et y = 1. x² = y² = 1 mais x =/= y . Par contre cette proposition serait vraie si x et y étaient dans R+.

4) Contre-exemple : x = 1 et y = 2 . D'ailleurs il suffit de regarder le graphe de la fonction 1/x . Si cette affirmation était vraie, cela voudrait dire que la fonction est croissante, ce qui est évidemment n'importe quoi.

5) La proposition demande si pour tout y>0, on peut trouver un nombre dont l'exponentielle vaut y. Cette proposition signifie que exponentielle est surjective. (de R dans R+*). Ce qui est vrai. Si tu n'as pas encore vu la surjectivité, tu peux dire simplement : " Soit y > 0 . Alors x = ln(y) est bien défini, et on a exp(x) = exp(ln(y)) = y. Donc la proposition est vraie".

IMPORTANT : La logique est sans conteste la partie la plus à maîtriser des maths. Surtout en prépa, une erreur de logique sera éliminatoire. Je t'encourage à réviser à fond cette partie et à faire des exercices jusqu'à ce que tu sois parfaitement convaincue de tous les résultats et que tout te paraisse intuitif. N'hésite pas à faire d'autres exercices et à poster les résultats ici. Je ne serai pas là pour t'aider au concours.