ptite pomme Posté(e) le 16 février 2004 Signaler Posté(e) le 16 février 2004 On considère le cercle C d'équation : x² + 2x + y² - y = 5 et le cercle T de centre F(4 ; 3) de rayon 5 J'ai déterminé le centre et le rayon de C et je trouve C de rayon 5/2 et de centre (-1 ; 1/2) De plus J'ai déterminé l'équation de cercle de T, je trouve x² + y² - 8x - 6y = 0 J'ai de plus déterminé les coordonnées des deux points d'intersection des deux cercles soit A(-1; 3) et B (1; -1) Comment déterminer les équations des tangentes à chacun des cercles au point A et comment montrer que ces tangentes sont perpendiculaires ? Autre exo: Comment montrer que pour tout triangle "la somme des carrés des médianes est égale au trois quart de la somme des carrés des côtés" ( j'ai travaillé avec le théorème des médianes mais je ne trouve tout de même pas) Autre exo: (c'est le dernier !!!) Soit ABC un triangle quelconque G son centre de gravité. On note a = BC, b = CA et c = AB Comment exprimer en fonction de a, b, et c la quantité GA² + GB² + GC² ? (je trouve en calculant les médianes GA² + GB² + GC² = 3/4 (a² + b² + c²) mais en vérifiant sur un dessin c'est faux alors !!!!) merci d'avoir pris le temps de le lire.......
blinkseb Posté(e) le 16 février 2004 Signaler Posté(e) le 16 février 2004 Salut ! J'ai fait l'exercice 2 ! Effectivement, c'est bien le théorème de la médiane qu'il faut utiliser Rappel : Triangle ABC I Milieu de [AB] AC² + BC² = 2CI² + AB²/2 A partir de là : Soit AA' la médiane issue du sommet A Soit BB' la médiane issue du sommet B Soit CC' la médiane issue du sommet C (Toujours dans un triangle ABC ) AB² + AC² = 2AA' + BC²/2 Donc 2AA'² = AB² + AC² - (BC²/2) D'où : AA'² = AB²/2 + AC²/2 - (BC²/4) AB² + BC² = 2BB' + AC²/2 Donc 2BB' = AB² + BC² - (AC²/2) D'où : BB' = AB²/2 + BC²/2 - (AC²/4) AC² + BC² = 2CC'² + AB²/2 Donc 2CC'² = AC² + BC² - (AB²/2) D'où : CC'² = AC²/2 + BC²/2 - (AB²/4) Maintenant : La somme des carrés des médianes
blinkseb Posté(e) le 16 février 2004 Signaler Posté(e) le 16 février 2004 Voilà Pour le premier, désolé, mais je ne sais pas trouver les tangentes à un cercle Par contre, j'ai réussi la troisième exercice, sensiblement la même chose que le 2 Alors : Utilisation du théorème de la médiane : Soit A', B', et C' milieu respectif de [bC], [AC] et [AB] Donc : AC² + AB² = 2AA'² - BC²/2 Donc : AA'² = AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4) (Voir msg précédent pour détails) On obtient donc : AA'² = AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4) BB'² = BC²/2 + BA²/2 - (AC²/4) CC'² = CB²/2 + CA²/2 - (AB²/4) => C'est la même chose que l'exercice précédent! Maintenant : AA' = Racine(AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4)) BB' = Racine(BC²/2 + BA²/2 - (AC²/4)) CC' = Racine(CB²/2 + CA²/2 - (AB²/4)) Donc à partir de là : (2/3)AA' = GA Donc GA = (2/3) * Racine(AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4)) GA² = (4/9) * (AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4)) GA² = 4AC²/18 + 4AB²/18 - (4BC²/36) GA² = 2AC²/9 + 2AB²/9 - BC²/9 Le raisonnement est le même pour les autres. Voici les résultats : GB² = 2BC²/9 + 2BA² - AC²/9 GC² = 2AC²/9 + 2BC²/9 - AB²/9 Maintenant : GA² + GB² + GC² = (On remplace AB, AC, et BC par c, b et a) 2b²/9 + 2c²/9 - a²/9 + 2a²/9 + 2c²/9 - b²/9 + 2b²/9 + 2a²/9 - c²/9 = (2b² - b² + 2b²)/9 + (2c² - c² + 2c²)/9 + (2a² - a² + 2a²)/9 = (1/3)(a² + b² + c²) Voilà J'ai vérifié sur un dessin, ça tombe pile poil Bye bye Seb
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