Géométrie

[ptite pomme]

On considère le cercle C d'équation :

x² + 2x + y² - y = 5

et le cercle T de centre F(4 ; 3) de rayon 5

J'ai déterminé le centre et le rayon de C et je trouve C de rayon 5/2 et de

centre (-1 ; 1/2)

De plus J'ai déterminé l'équation de cercle de T, je trouve x² + y² - 8x - 6y = 0

J'ai de plus déterminé les coordonnées des deux points d'intersection des deux cercles soit A(-1; 3) et B (1; -1)

Comment déterminer les équations des tangentes à chacun des cercles au point A et comment montrer que ces tangentes sont perpendiculaires ?

Autre exo:

Comment montrer que pour tout triangle "la somme des carrés des médianes est égale au trois quart de la somme des carrés des côtés" ( j'ai travaillé avec le théorème des médianes mais je ne trouve tout de même pas)

Autre exo: (c'est le dernier !!!)

Soit ABC un triangle quelconque G son centre de gravité. On note a = BC, b = CA et c = AB

Comment exprimer en fonction de a, b, et c la quantité GA² + GB² + GC² ?

(je trouve en calculant les médianes GA² + GB² + GC² = 3/4 (a² + b² + c²)

mais en vérifiant sur un dessin c'est faux alors !!!!)

merci d'avoir pris le temps de le lire.......

[blinkseb]

Salut ! J'ai fait l'exercice 2 ! Effectivement, c'est bien le théorème de la médiane qu'il faut utiliser

Rappel :

Triangle ABC

I Milieu de [AB]

AC² + BC² = 2CI² + AB²/2

A partir de là :

Soit AA' la médiane issue du sommet A

Soit BB' la médiane issue du sommet B

Soit CC' la médiane issue du sommet C

(Toujours dans un triangle ABC )

AB² + AC² = 2AA' + BC²/2

Donc 2AA'² = AB² + AC² - (BC²/2)

D'où : AA'² = AB²/2 + AC²/2 - (BC²/4)

AB² + BC² = 2BB' + AC²/2

Donc 2BB' = AB² + BC² - (AC²/2)

D'où : BB' = AB²/2 + BC²/2 - (AC²/4)

AC² + BC² = 2CC'² + AB²/2

Donc 2CC'² = AC² + BC² - (AB²/2)

D'où : CC'² = AC²/2 + BC²/2 - (AB²/4)

Maintenant :

La somme des carrés des médianes

[blinkseb]

Voilà Pour le premier, désolé, mais je ne sais pas trouver les tangentes à un cercle

Par contre, j'ai réussi la troisième exercice, sensiblement la même chose que le 2

Alors :

Utilisation du théorème de la médiane :

Soit A', B', et C' milieu respectif de [bC], [AC] et [AB]

Donc :

AC² + AB² = 2AA'² - BC²/2

Donc : AA'² = AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4) (Voir msg précédent pour détails)

On obtient donc :

AA'² = AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4)

BB'² = BC²/2 + BA²/2 - (AC²/4)

CC'² = CB²/2 + CA²/2 - (AB²/4)

=> C'est la même chose que l'exercice précédent!

Maintenant :

AA' = Racine(AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4))

BB' = Racine(BC²/2 + BA²/2 - (AC²/4))

CC' = Racine(CB²/2 + CA²/2 - (AB²/4))

Donc à partir de là :

(2/3)AA' = GA

Donc GA = (2/3) * Racine(AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4))

GA² = (4/9) * (AC²/2 + AB²/2 - (BC²/4))

GA² = 4AC²/18 + 4AB²/18 - (4BC²/36)

GA² = 2AC²/9 + 2AB²/9 - BC²/9

Le raisonnement est le même pour les autres. Voici les résultats :

GB² = 2BC²/9 + 2BA² - AC²/9

GC² = 2AC²/9 + 2BC²/9 - AB²/9

Maintenant :

GA² + GB² + GC² = (On remplace AB, AC, et BC par c, b et a)

2b²/9 + 2c²/9 - a²/9 + 2a²/9 + 2c²/9 - b²/9 + 2b²/9 + 2a²/9 - c²/9

= (2b² - b² + 2b²)/9 + (2c² - c² + 2c²)/9 + (2a² - a² + 2a²)/9

= (1/3)(a² + b² + c²)

Voilà

J'ai vérifié sur un dessin, ça tombe pile poil

Bye bye

Seb