clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 Bonjour, Dans mon exercice je dois démontrer en utilisant les congruences et un raisonnement par disjonction des cas : que si n désigne un entier naturel alors n(n+1)(2n+1) est divisible par 6. j'ai commencé par dire que n est pair donc n est un multiple de 6 tel que n=6k j'ai commencé avec n= 6k est je trouve 432k^{3} + 108k² +6k ensuite avec n+1 = 6k+1 est je trouve 6k(72k²+54k+13k +6 sauf que je ne vois pas le rapport avec les congruence et je ne sais pas où je dois m'arrêté pour la disjonction des cas. J'espere qu'on pourra m'aider, s'il vous plaît
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 Bonjour, Il suffit de développer ton expression et de faire un tableau de congruence modulo 6 sachant que n congrue à k mod n implique de n^m congrue à k^m mod n pour tout entier m =>1
clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 Bonjour, développer l'expression avec les n ? Je n'es pas appris les tableau de congruence.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 Le tableau de congruence revient à faire une disjonction de cas suivant le reste de n par 6 Donc on réalise le tableau suivant avec le reste de la division de n par 6 avec n congrue k[6] k | 0 | 1 | 2 |3 | 4 | 5 n mod 6 | 0 | 1 | 2 |3 | 4 | 5 n^2 mod 6 n^3 mod 6
clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 pourquoi le n est en puissance ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 il y a 3 minutes, clems33440 a dit : pourquoi le n est en puissance ? Parce que je t'ai dit de développer. En effet, tu sais que si : - a congrue à b mod n et c congrue à s mod n alors a+c congrue à b+d mod n. - a congrue à b mod n alors a^m congrue à b^m mod n pour tout entier m =>1 - a congrue à b mod n alors a*k congrue à b*k mod n pour tout entier relatif k non nul.
clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 Ah d'accord j'ai compris, merci beaucoup
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 Tu me montreras ta compréhension en me montrant tes réponses^^.
clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 n²(2n²+2n) est congrue a la formule départ avec modulo 6
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 il y a 3 minutes, clems33440 a dit : n²(2n²+2n) est congrue a la formule départ avec modulo 6 Ton développement est faux. Et tu dois plus expliquer ton raisonnement. PS : tu devines bien que je restes évasif afin que tu trouves par toi-même.
clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 n²(2n²+2n) est congrue a la formule départ avec modulo 6
clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 en développant je trouve 2n3+3n²+n
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 il y a 9 minutes, clems33440 a dit : en développant je trouve 2n3+3n²+n Oui, ça je suis d'accord. Maintenant, tu sais pourquoi je t'ai demandé de calculer n^2 et n^3. En utilisant tout ce que je t'ai dit, tu peux faire l'exercice.
clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 c'est pour trouver que c'est divisible par 6
clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 je vais devoir résoudre n est congru à 0,1,2,3,4,5 modulo 6 en utilisant les compatibilité avec les opération
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 Oui, quand tu feras le bilan des restes, tu verras que c'est un multiple de 6.
CitronVert Posté(e) le 22 décembre 2015 Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 Développer l'expression est fastidieux et je pense qu'on te l'a donnée sous forme factorisée pour une bonne raison. Voilà comment je ferais : Divisible par 6 <=> Divisible par 2 et par 3 C'est vrai car 2 et 3 sont premiers entre eux. Montre donc simplement que l'expression est forcément divisible par 2 et par 3. Pour 3 tu auras une disjonction des cas à faire, à toi de trouver laquelle!
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 C'est la méthode que j'aurais utilisé il y a 10 ans. Utiliser les critères de divisibilité est bien plus hasardeux et est bien moins generalisable que les tables de congruence. Même si ici, une disjonction sur 3k ; 3k+1 et 3k + 2 marche également.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 PS : je l'aurai montré dans un second temps pour le fun.
clems33440 Posté(e) le 22 décembre 2015 Auteur Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 je crois j'ai trouvé les reponses merci beaucoup
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 De plus, avec la divisibilité, plus besoin des congruences demandées dans l'énoncé.
CitronVert Posté(e) le 22 décembre 2015 Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 Si, elle devra quand même faire les cas modulo 3. (Je ne crache absolument pas sur les tables de congruence, c'est la méthode générale, mais ici vu la tronche de la formule factorisée je crois difficilement qu'on attende autre chose)
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 22 décembre 2015 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 décembre 2015 La table des modulo 3 n'est pas la meilleure ici (même si tu souhaites conserver la forme produit). Si tu tiens à utiliser la forme produit (qui est plus légitime car celle attendue par le professeur). Il convient d'utiliser une table modulo 6 et d'utiliser le résultat : a est congrue à b mod n ==> ac est congrue à bc mod n. A titre personnel, je préfère les relations de compatibilité avec les sommes plutôt qu'avec les produits. Mais les goûts et les couleurs...
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