[1ères] Besoin D'aide Sur Les Produits Scalaires

[J.C]

Bonjour tout le monde!

Je n'ai pas vraiment l'habitude de demander de l'aide en général, mais là je dois bien me rendre à l'évidence : les produits scalaires et moi, ça passe pas .

Aussi je demande, que dis-je, j'implore votre aide .

ABC est un triangle, on note alpha, beta, gamma les mesures en radians des angles Â, ^B et ^C et on pose a = BC, b = CA, c = AB.

1. a ) Vérifiez que AB.AC + BA.BC = AB²

( AB.AC + BA.BC en vecteurs )

Pour cette question j'ai fais :

AB.AC + BA.BC = AB.AC + (-AB.BC)

=AB.AC + AB.CB ( la je doûte déjà lol )

=AB. (AC + CB)

=AB.AB

=AB²

Je pense que c'est bon, ai-je fais une erreur quelque pars ?

b ) Déduisez-en que c = a*cos(beta) + b*cos(alpha)

Dès cette question, je suis déjà complètement paumé. En fait je vois même pas quelle formule utilisée .

2. Dans cette question, on suppose que beta = 2*alpha.

a ) Démontrez que 0<alpha<(pi/3)

b ) Démontrez que cos(alpha) = (b/2a)

c) Déduisez que b²-a² = ac.

Je me doûte bien qu'il faut utiliser la relation des sinus a/sin(alpha) = b/sin(beta) = c/sin(gamma) mais j'arrive à rien... y'a pas moyen ce chapitre je coince complètement! Un peu d'aide serait la bienvenue svp.

Merci d'avance,

Un lycéen en galère.

[J.C]

Après moultes réflexions, j'ai réussi à progresser un peu, voila où j'en suis :

1)a) Vérifiez que AB.AC + BA.BC = AB²

AB.AC + BA.BC = AB.AC + (-AB.BC)

=AB.AC + AB.CB ( la je doûte déjà lol )

=AB. (AC + CB)

=AB.AB

=AB²

B) Déduisez-en que c = a*cos(beta) + b*cos(alpha)

On sait que u.v = ||u||.||v||*cos(u;v)

On applique cette formule avec l'opération de la question 1)a) :

AB.AC + BA.BC = bc*cos(alpha) + ac*cos(beta)

AB.AC + BA.BC = AB² et on sait que c = AB donc on peut dire :

c² = bc*cos(alpha) + ac*cos(beta)

Après on simplifie par c et on obtient c = a*cos(beta) + b*cos(alpha).

2) Dans cette question, on suppose que beta = 2*alpha.

a) Démontrez que 0<alpha<(pi/3) ( pas trouvé )

B) Démontrez que cos(alpha) = (b/2a)

On sait que beta = 2*alpha

Donc :

sin(beta) = sin(2*alpha)

sin(beta) = 2sin(alpha)*cos(alpha)

=> cos(alpha) = [sin(beta)]/[2sin(alpha]

=> cos(alpha) = (b/c)/(2a/c)

=> cos(alpha) = b/2a

c) Déduisez que b²-a² =ac. ( pas trouvé )

C'est pas joli joli :/. Je sais même pas si ce que j'ai fais est bon ( apparement oui mais sait-on jamais ).