Cubiténaire percé 2nde

[marshmallowb]

Mince, il manque les angles droits ABI et IBC c'est ça ? Hum, c'est une arête latérale de la pyramide de base ABC de sommet I perpendiculaire à B ?

[Boltzmann_Solver]

Tu remarqueras que j'ai mis BI et non [BI]. Donc, je parle de la distance entre B et I. Que peux tu me dire sur la distance BI ?

Par contre, horreur, un segment n'est jamais perpendiculaire à un point :p !

[marshmallowb]

Et bien, BI comprend BF qui est égal à 12 cm. Mais après je ne sais pas comment calculer la longueur FI...

[Boltzmann_Solver]

Zut !!!!!! Je n'avais pas vu que I était déjà pris !!!!! c'est pour ça que tu galères, excuse moi.

Corrige moi le schéma en appelant K, l'intersection des trois droites.

[Boltzmann_Solver]

Quand ça sera fait, refais moi le calcul du volume de la pyramide ABCK.

[marshmallowb]

V pyramide = B*h/3 

Surface base = Surface de ABC 
Aire ABC = L*l/2 = 12*12/2 = 144/2 = 72 cm2 

Hauteur = BK = 24 cm 

Donc V pyramide = 72*24/3 = 1728/3 = 576 cm^{3 ?}

[Boltzmann_Solver]

V pyramide = B*h/3 

Surface base = Surface de ABC 
Aire ABC = L*l/2 = 12*12/2 = 144/2 = 72 cm2 

Hauteur = BK = 24 cm 

Donc V pyramide = 72*24/3 = 1728/3 = 576 cm^{3 ?}

C'est parfait ! si ce n'est que tu dois démontrer que BK = 24 cm.

encore désolé pour cette étourderie de ma part, tu aurais fini depuis longtemps sans ça (honte...)

[marshmallowb]

Oh non, ce n'est pas grave du tout ! BK = 24 cm puisque B est symétrique à K par rapport à F ?

 

[marshmallowb]

La surface libre de l'eau contenue dans le cube correspond au plan ACIJ. On obtient alors l'espace où le volume d'eau est perdu, soit la pyramide tronquée ABCIFJ. Si l'on prolonge les droites (AI), (BF) et (CJ), on obtient le point d'intersection K. Ce point correspond au sommet de la pyramide. 

Calcul du volume de la pyramide de hauteur BK et de base ABC : 
V pyramide = B*h/3 

Surface base = Surface de ABC 
Aire ABC = L*l/2 = 12*12/2 = 144/2 = 72 cm² 

Calcul de la hauteur BK  :

 

Dans le triangle ABK, on a : 

-F appartient à [BK]

-I appartient à [KA]

- (AB) // (IF)

Nous avons ici la configuration permettant d'utiliser le théorème de Thalès. On a donc :

IF/AB=KF/KB=KI/KA soit 6/12=KB-12/KB=KI/KA

On prend x = BK. Donc KF = x-12.

Calcul de la longueur BK :

12*(x-12)/6=x

12x-144/6=x

 

12x-144=6x

6x=144

x=24

La longueur BK mesure donc 24 cm.
Donc on a : 72*24/3 = 1728/3 = 576 cm³ 

Calcul du volume de la pyramide de hauteur FK de et base IFJ : 
V pyramide = B*h/3 
Surface base = Surface IFJ 

Calcul de la longueur FJ :

Dans le triangle FEG, on a : 

- I appartient à [FE]

-J appartient à [FG] 

-(IJ)//(EG)

Donc d'après le théorème de Thalès on a :

(IJ/EG=)FI/FE=FJ/FG soit 6/12=FJ/12

FJ = 6*12/12=6 cm
Aire IFJ = L*l/2 = IF*FJ/2 = 6*6/2 = 18 cm² 

Calcul de la hauteur FK :

FK = BK-BF 

FK = 24-12

FK = 12 cm 

Donc on a : 18*12/3 
= 216/3 = 72 cm³ 

Calcul du volume de la pyramide tronquée ABCIFJ : 

Volume ABCIFJ = Volume pyramide de base ABC et de sommet K - volume de la pyramide de base IFJ et de sommet K
= 576-72 = 504 cm³ 

Pour connaître le volume d'eau maximal que peut contenir le cube, on effectue la différence entre le volume total du cube et le volume de la pyramide tronquée soit : 

Calcul du volume total du cube : c³ soit 12³ = 1728 cm³

Volume d'eau maximal = 1728 - 504 = 1224 cm³

 

 

 

[Boltzmann_Solver]

La surface libre de l'eau contenue dans le cube est inclus dans le plan (ACI). Cherchons son contour.

Soit J = (ACI)n(FG). Une condition nécessaire est que (AC) // (IJ) car les faces opposées du cube sont //. Ainsi, le triangle FIJ est isocèle rectangle en F. Donc, FI=FJ=6cm.

De plus, le plan (ACI) n'est coplanaire avec aucune face. Donc, les intersections existent et forment des droites. Donc, (ACI)n(EFGH) = (IJ) et (ACI)n(BCGF) = (CJ).

En conclusion, la surface libre est formée par le quadrilatère ACIJ.

 

On obtient alors l'espace où le volume d'eau est perdu en prenant le plus petit volume au dessus du quadrilatère ACJI, soit la pyramide tronquée ABCIFJ.

Si l'on prolonge les droites (AI), (BF) et (CJ), on obtient le point d'intersection K, sommet de la pyramide ABCK. 

Calcul de la hauteur BK  :

Dans le triangle ABK, on a : 

-F appartient à [BK]

-I appartient à [KA]

- (AB) // (IF) car [AB] et [EF] sont des cotés opposés d'une des faces du carré.

Nous avons ici la configuration permettant d'utiliser le théorème de Thalès. On a donc :

IF/AB=KF/KB <==> 6/12=(KB-12)/KB (inutile de tout recopier)

Posons x = BK.  Donc,

12*(x-12)/6=x

<==> (12x-144)/6=x

<==> 12x-144=6x

6x=144

x=24

La longueur BK mesure donc 24 cm.

Calcul du volume de la pyramide de hauteur BK et de base ABC : 
V pyramide = B*h/3 

Surface base = Surface de ABC 
Aire ABC = L*l/2 = 12*12/2 = 144/2 = 72 cm² 

   Donc on a : 72*24/3 = 1728/3 = 576 cm³ 

Calcul du volume de la pyramide de hauteur FK de et base IFJ : 
V pyramide = B*h/3 
Surface base = Surface IFJ 

Calcul de la longueur FJ :

Dans le triangle FEG, on a : 

- I appartient à [FE]

-J appartient à [FG] 

-(IJ)//(EG)

Donc d'après le théorème de Thalès on a :

(IJ/EG=)FI/FE=FJ/FG soit 6/12=FJ/12

FJ = 6*12/12=6 cm

Ca ne sert à rien. C'est dans la définition de J.
Aire IFJ = L*l/2 = IF*FJ/2 = 6*6/2 = 18 cm² 

Calcul de la hauteur FK :

FK = BK-BF 

FK = 24-12

FK = 12 cm 

Donc on a : 18*12/3 
= 216/3 = 72 cm³ 

Calcul du volume de la pyramide tronquée ABCIFJ : 

Volume ABCIFJ = Volume pyramide de base ABC et de sommet K - volume de la pyramide de base IFJ et de sommet K
= 576-72 = 504 cm³ 

Pour connaître le volume d'eau maximal que peut contenir le cube, on effectue la différence entre le volume total du cube et le volume de la pyramide tronquée soit : 

Calcul du volume total du cube : c³ soit 12³ = 1728 cm³

Volume d'eau maximal = 1728 - 504 = 1224 cm³

 

 

 

J'ai corrigé certaines imprécisions sur la définition de J. Relis bien la correction !