1ère S, vecteurs dans un repère orthonormé.

[Jade971]

Bonjour !!!

J'ai du mal à répondre à la dernière question de mon DM de mathématiques, je ne sais pas comment m'y prendre ...

4°) Lorsque la droite delta prim' et la parabole C ont deux points communs M et N distincts de O (origine du repère), prouver que le milieu P de [MN] appartient à une droite fixe.

 

L"équation de la droite delta prim est : y= -2x+3+m.

L''équation de la parabole C est : y= x².

J'ai trouvé que le nombre d'intersection entre delta prim et C correspond au nombre de solutions de : -x²-2x+3+m=0

J'en ai déduit qu'elles se couperont en un point (-1;1) pour m=-4

Que pour m<-4 elles ne se couperont pas et que pour m>-4 il y aurait deux points d'intersection. Merci de bien vouloir me guider.

[Olivier0507]

Dans le cas d'une intersection à deux points, exprime les abscisses des deux points de croisement (qui sont simplement les racines de l'équation). Tu as donc x_M et x_N. Exprime l'abscisse x_P du point P milieu de [MN] en fonction de x_M et x_N , remplace les par leur expression respective et tu vas t'apercevoir de quelque chose.

[Jade971]

Oui c'est ce que j'avais fait concernant les racines.

Pour l'abscisse de P j'ai trouvé 0, est-ce normal ?

[Jade971]

J'arrive à trouver les racines distinctes mais uniquement quand l'équation est nulle ... donc j'arrive à trouver uniquement un point d'intersection

[Olivier0507]

Equation  : -x²-2x+3+m=0

Delta = 16 +4m

Comme tu l'as dit très justement, si m>-4 alors Delta est strictement positif et il y a 2 racines distinctes. Il n'y a plus qu'à les calculer en utilisant la formule traditionnelle. Ces deux racines sont les abscisses des deux points d'intersection entre la droite d'équation y= -2x+3+m et la parabole d'équation y= x².

[Jade971]

Tout à fait, mais pour les racines distinctes je trouve :

x1 = 2+ racine de 16+4m divisé par -2

x2 = 2- racine de 16+4m divisé par -2 

et c'est ici que suis bloquée car quand je fais la moyenne des deux abscisses je trouve 0.

[Olivier0507]

Non ça ne fait pas 0. Tu remarqueras que le résultat est indépendant de tout paramètre. Il s'agit de l'abscisse du milieu du segment [MN], et comme cette abscisse sera toujours la même quelque soit la configuration et la valeur de m (dans le cas de deux points de croisement), le point P aura toujours même abscisse. Ainsi, P appartiendra à une droite fixe, d'équation ... (je te laisse compléter en reprenant ton calcul).

[Jade971]

indépendant de tout paramètres ? c'est à dire ?

[Olivier0507]

L'abscisse du point P ne dépend pas du paramètre m. Le point P aura donc toujours même abscisse même si m varie et qu'en conséquence la droite delta n'a pas la même expression et donc pas la même représentation.

[Jade971]

Puisque C a pour équation y=x², on remarque que P a pour abscisse O et donc P appartient à l'axe des ordonnées ?

[Olivier0507]

? Non, P appartient à cette parabole mais il n'y a aucune raison qu'il soit situé en 0. 

Tu avais trouvé, très justement que :

x1 = 2+ racine de 16+4m divisé par -2

x2 = 2- racine de 16+4m divisé par -2 

où x₁ et x₂ sont les abscisses des deux points de croisement entre la courbe et la parabole. Autrement dit, x_M = x₁ et x_N = x₂.

et x_P = (x_M + x_N) / 2 = -1 

Ainsi, quelque soit la valeur de m (tant que m reste > -4), P a toujours la même abscisse qui est égale à -1. Autrement dit, P est toujours sur la droite d'équation x = -1 (droite verticale, parallèle à l'axe des ordonnées et passant par x = -1). P se balade sur cette droite. 

[Olivier0507]

Voici une figure illustrant ce que je t'expliquais au message précédent. Y sont représentées :

-> La parabole

-> Deux droites obtenues pour deux valeurs de m différentes (m = -2 et m= 0) 

Tu observeras que P, milieu de [MN] est bien situé sur la droite d'équation x = -1.

[Jade971]

D'accccccccord !!! je viens de comprendre !!! merci beaucoup, merci, merci, merci !!!