DM suite récurrence

[chichima]

Bonjour tout le monde   alors voilà j'ai un DM à rendre pour demain sur les démonstrations par récurrence ^^

A vrai dire je suis très médiocre sur ce chapitre et je ne comprends absolument pas (en particulier l'étape de l'hérédité) 

J'aimerais bien que l'on m'explique sur ce DM comment s'y prendre pour faire une bonne démonstration ^^

Pour le premier exercice j'ai fait avec "p" et j'aimerais savoir comme ça marche avec les "u_n+1" pour le  deuxième exercice  ^^

Merci  

Le sujet du DM est ici : 

 

J'ai fais l'exercice 1 avec l'aide de mon frère et j'aimerais une correction svp ^^

Ce que j'ai fais pour l'exercice 1 : 

u_n+1 = 5 - 16/u_n+3

Soit la propriété P(n) : 1 ≤ u_n ≤ 2

1) Initialisation : u₀ = 2 et on a 1 ≤ u_n ≤ 2 et on sait que 1 ≤ 2 ≤ 2 donc P(0) est vraie.

Hérédité : On suppose qu'il existe un entier naturel p tel que 1 ≤ up ≤ 2

4 ≤ u_p+3 ≤ 5 

16/4 ≤ 16/u_p+3 ≤ 16/5

-4 ≤ -16/u_p+3 ≤ -16/5

1 ≤ 5-16/u_p+3 ≤ 1,8

1 ≤ u_p+1 ≤ 1,8 ≤ 2 Donc P(p+1) est vraie

Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout n appartenant à N, 1 ≤ u_n ≤ 2.

2) a. Pour tout n appartenant à N 

u_n+1 - u_n = 5 - 16/u_n+3  - u_n

<=> (5(u_n+3) -16 - u_n(u_n+3) ) / u_n+3

<=> (5u_n + 15 - 16 - un²  - 3u_n) / u_n+3

<=> (-1 + 2u_n - u_n²) / u_n+3 = (-(u_n-1)²) / u_n+3

2)b. La suite (u_n) est croissante. 

 

Ce que j'ai fais pour l'exercice 2 : 

1) Etant donné que u_O = 80 en 2005  alors a₁ = 80 - 10/100 * 80 + 20 = 92 -> 92 adhérents en 2006.

donc a_n+1 = n - 10/100n + 20

2)a. JE BLOQUE 

2)b. a₁₅ = 200 - 120*0,9¹⁵  est environ égal à 175 (il y aura à peu près 175 adhérents au club de randonnée).

3)a et b. PAS COMPRIS 

4) PAS FAIT

 

[chichima]

C'est u_n + 3 et non u_n+3  et par conséquent c'est u_p + 3 et non u_p+3  ^^

Désolé 

[chichima]

et c'est 16/4 ≥ 16/u_p+3 ≥ 16/5 et non 16/4 ≤ 16/u_p +3 ≤ 16/5 

[chichima]

Pour la question 2)b. La suite est décroissante enfaite car le carré au numérateur est positif et le dénominateur est positif mais comme il y a le signe "-" devant, alors la suite sera décroissante car u_n+1 - u_n  ≤ 0

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Chichima,

Tu n'étais pas en terminale l'année dernière (de mémoire) ?

Correction de ta proposition pour l'exercice n°1.

    Ce que j'ai fais pour l'exercice 1 : 

u_n+1 = 5 - 16/u_n+3

(Vrai)Soit la propriété P(n) : 1 ≤ u_n ≤ 2 (C'est bien, tu as déclaré ta propriété).

1) Initialisation : u₀ = 2 et on a 1 ≤ u_n ≤ 2 et on sait que 1 ≤ 2 ≤ 2 donc P(0) est vraie.

L'idée est bonne mais mal rédigé.

P(0) <==> 1 ≤ u₀ ≤ 2 <==> 1 ≤ 2 ≤ 2 (Vrai)

Donc, la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité : On suppose qu'il existe un entier naturel p tel que :

1 ≤ up ≤ 2

<==> 4 ≤ u_p+3 ≤ 5 

<==> 16/4 ≤ 16/u_p+3 ≤ 16/5

<==> -4 ≤ -16/u_p+3 ≤ -16/5

<==> 1 ≤ 5-16/u_p+3 ≤ 1,8

<==> 1 ≤ u_p+1 ≤ 1,8 ≤ 2 Donc P(p+1) est vraie

Tu as commis plusieurs erreurs qui se sont compensées dans ton hérédité. Donc, relis tes calculs en m'expliquant ce que tu fais et pourquoi tu as droit de le faire. De plus, fais gaffe, tu as mélangé les indices et les nombres (par faute de frappe et non par incompréhension). Ce qui induit des erreurs de parenthèses.

Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout n appartenant à N, 1 ≤ u_n ≤ 2.

2) a. Pour tout n appartenant à N 

u_n+1 - u_n = 5 - 16/u_n+3  - u_n

= (5(u_n+3) -16 - u_n(u_n+3) ) / u_n+3

= (5u_n + 15 - 16 - un²  - 3u_n) / u_n+3

= (-1 + 2u_n - u_n²) / u_n+3 

= (-(u_n-1)²) / u_n+3

_{Idem que précédemment au niveau des indices et des parenthèses. Mais le raisonnement est juste. Par contre, tu n'as pas d'équivalence car tu manipules des expressions égales entres elles et non des égalités.}

2)b. La suite (u_n) est croissante. 

Pas de chance, c'est le contraire. Mais tu dois le démonter !!!!! Comment peut-on savoir si une suite est croissante ou décroissante. C'est dans ton cours.

[chichima]

Bonjour, non pas du tout, l'année dernière j'étais en Première ^^ 

Pour la question  2)b. La suite est décroissante enfaite car le carré au numérateur est positif et le dénominateur est positif mais comme il y a le signe "-" devant, alors la suite sera décroissante car un+1 - un ≤ 0

Ensuite pour l'hérédité de la question 1) j'ai ajouté "+3" à u_p donc je dois rajouté "+3" à 1 à gauche et à 2 à droite. Enfaite j'ai fait les calcules grâce à ce qu'on nous dit dans l'énoncé avec u_n+1 = 5 - 16/u_n+3. Quand je montré mon brouillon à ma prof, elle m'as dit que c'était une histoire avec les inverses et que je dois le noter sur ma copie mais j'ai pas trop compris ce qu'elle voulais dire par là ^^ 

[Boltzmann_Solver]

Pour la 2)b), ça peut aller (il faudra surveiller la rédaction).

Pour la 1), c'est en effet une "histoire d'inverse". Pour t'aider, lis ce document : http://iut-tice.ujf-grenoble.fr/tice-espaces/GEII/eneps-EC/wupload/File/6-Inegalites.pdf

[chichima]

Pour la 2)b), ça peut aller (il faudra surveiller la rédaction).

Pour la 1), c'est en effet une "histoire d'inverse". Pour t'aider, lis ce document : http://iut-tice.ujf-grenoble.fr/tice-espaces/GEII/eneps-EC/wupload/File/6-Inegalites.pdf

Comme "1" et "2" sont de même signe, on peut appliquer le principe de la fonction inverse ? 

[Boltzmann_Solver]

Corrige moi la question 1) à l'aide du pdf donné pour voir si tu as compris. En clair, pour passer d'une ligne à une autre, tu dis quelle opération du pdf tu utilises.

[chichima]

Corrige moi la question 1) à l'aide du pdf donné pour voir si tu as compris. En clair, pour passer d'une ligne à une autre, tu dis quelle opération du pdf tu utilises.

Pour passer de la ligne "4 ≤ u_p +3 ≤ 5" à la ligne "16/4  ≥ 16/u_p +3 ≥ 16/5" on a fait l'opération " x < y =>  1/x > 1/y" (qui consiste à inverser les signes pour x et y de même signe car la fonction inverse est strictement décroissante) 

[Boltzmann_Solver]

Tu ne fais pas que ça sur cette ligne. En réalité, tu as fait deux opérations.

[chichima]

Qu'est-ce que je dois dire du coup sur ma copie pour bien tout expliquer ?

[Boltzmann_Solver]

Je ne te dirai pas ce qu'il faut écrire.

Dois-je en déduire que tu ne comprends pas ce qu tu écris ?

Reprenons ton dernier message

Pour passer de la ligne "4 ≤ u_p +3 ≤ 5" à la ligne "16/4  ≥ 16/u_p +3 ≥ 16/5" on a fait l'opération " x < y =>  1/x > 1/y" (qui consiste à inverser les signes pour x et y de même signe car la fonction inverse est strictement décroissante) 

Tu dis que tu fais l'opération inverse. Dans ce cas, que vaudrait x et y (en principe, ce n'est pas possible) ?

Donc, à l'aide du pdf, trouve moi deux opérations permettant de passer de 4 ≤ u_p +3 ≤ 5 à 16/4  ≥ 16/u_p +3 ≥ 16/5

Te donner la réponse ne sert à rien, tu as déjà vu ces opérations des centaines de fois depuis le collège (seul le contexte change).

[chichima]

bah en mettant le chiffre sous forme de fraction (c'est à dire  ajouter un nombre au numérateur) cela provoque le changement de signe