Vérifeés Mes Résustats Svp

[gege76]

bonjours pouvez me dire si mon raisonnement et mes résultats sont corrects pour la question 3 de cet exercice car je nz suis pas sure. merci. je suis en 1ere

Exercice 31:

Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x^3 + 2x + 1.

On note C Sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

1) Donner une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse - 1.

2) Soit g la fonction approximation affine représentée par la tangente de la première question.

On se propose de démontrer que Si valeur absolue de h <1 ,alors l'erreur commise en remplaçant f(- 1 + h) par g(- 1 + h) est inférieure à 4h².

a) Démontrer que : Si valeur absolue de h < 1 alors valeur absolue de h^3 < h².

Démontrer que

Si la valeur absolue de h < 1 alors la valeur absolue de [f(- 1 + h) -5(- 1 + h) – 3] < 4h².

c) Conclure.

3) On trace la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d'unité graphique 1 cm. On suppose que l'on ne peut plus distinguer deux points dès lors que leur distance est inférieure à 0,05 cm.

Démontrer que la courbe et sa tangente sont indiscernables lorsque x appartient à [-1,1 ; -0,9].

RÉPONSE

f '(x) = 3x² + 2

f(-1) = -2

f '(-1) = 5

T: (y + 2) = (x + 1).5

T: y = 5x + 3

----

|f(x) - (5x + 3)| < 0,05

|x³ + 2x + 1 - 5x - 3 < 0,05

|x³ - 3x - 2| < 0,05

|(x-2)(x+1)²| < 0,05

Si x 2, (1)

on a: |(x-2)(x+1)²| = (x-2)(x+1)²

(x-2)(x+1)² < 0,05

x³ - 3x - 2 < 0,05

x³ - 3x - 2,05 < 0

la seule racine réelle de x³ - 3x - 2,05 = 0 est x = 2,00553511174...

(x - 2,00553511174...).(x² + ...) < 0

avec la partie (x² + ...) positive.

On a donc: x³ - 3x - 2,05 < 0 pour x < 2,00553511174...

avec (1): x dans ]2 ; 2,00553511174...[ convient. (2)

Si x < 2 (3), on a: |(x-2)(x+1)²| = -(x-2)(x+1)²

(x-2)(x+1)² < 0,05

-x³ + 3x + 2 < 0,05

-x³ + 3x + 1,95 < 0

Les racines de -x³ + 3x + 1,95 sont x = -1,12646153734 ; x=-0,867962196539 ; x =1,99442373388.

-> x dans ]-1,12646153734 ; -0,867962196539[ U ]1,99442373388 ; oo[ convient mais on est limité par (3) ->

x dans ]-1,12646153734 ; -0,867962196539[ U ]1,99442373388 ; 2[ convient. (4)

(2) et (4) ->

x dans ]-1,12646153734 ; -0,867962196539[ U ]1,99442373388 ; 2,00553511174...[ convient.

En arrondissant, on a x dans [-1,1 ; -0,9] convient mais il reste à vérifier si je ne me suis pas planté.