Ts Suites

[Phoebe.buffay]

Bonjour, pouvez vous m'aider pour cet exo sur les suites car j'ai du mal j'ai pu répondre à la question 1 mais je bloque à la question 2. Merci Beaucoup.

Pour tout entier naturel n non nul, on pose Un=n²/2^n. On obtient ainsi une suite (Un) de réels strictement positifs.

1. Pour tout entier naturel n non nul, on pose Vn=Un+1/Un.

a.Montrer que la lim Vn=1/2

b.Montrer que pour tout entier naturel n non nul Vn>1/2.

c.Trouver le plus petit entier naturel N tel que, si n>ou=N, Vn<3/4.

d.En déduire que si n>ou=N alors Un+1<3/4 Un

2.On pose pour tout entier naturel n>ou=5, Sn=U5+U6+...+Un= E(somme, au-dessus: n et en bas i=5) Ui.

On se propose de montrer que la suite (Sn)n>ou=5 est convergente.

a.Montrer par récurrence que pour tout entier n>ou=5 : Un<ou= (3/4)^(n-5)*U5

b.Montrer que pour tout entier naturel n>ou=5

Sn<ou= [1+(3/4)+(3/4)²+...+(3/4)^(n-5)]U5

c.En déduire que pour tout entier naturel n>ou=5, Sn<ou=4*U5

3.Montrer que la suite (Sn)n>ou=5 est croissante, et endéduire qu'elle est convergente.

4.Déduire des questions précédentes un majorant de E(somme, en haut :+inf; en bas: n=1)*n²/2^n.