Arithmétique Terminale S

[Kastonia]

On considère (x,y) € N*² avec x et y premiers entre eux.

On pose S=x+y et P=xy.

Démontrer que S et P sont premiers entre eux.

J'ai demontré préalablement que S et x étaient premiers entre eux ainsi que S et y.

Si vous pouviez m'aider je vous en serai très reconnaissant !!!

Merci d'avance.

Bonne soirée.

[jerome]

Décompose x et y en produit de facteurs premiers ( sachant qu'ils n'ont aucun facteur commun ), et essaie peut etre alors de faire un raisonnement par l'absurde, en supposant que S et P ont un diviseur commun.

Jerome.

[Kastonia]

Merci c'était pas la technique (enfin peut etre mais j'ai pas réussi comme ca) mais j'avais pas pensé à raisonner par l'absurde.

J'ai en fait supposer que S et P possédaient des diviseurs en communs autre que 1 et -1 (pas premiers entre eux en gros)

Donc de ce fait la fraction S/P est réductible

C'est à dire S/(xy) réductible

Or S est premier avec x et S est premier avec y

D'où la contradiction avec la supposition car S/P est irréductible

D'ou S et P premiers entre eux

Je pense que ca marche comme ca.

Merci encore de m'avoir fait pensé à ca.

Bonne journée.