Svp, Urgent Dm De Spé

[maud976]

Pourriez vous m’aider à résoudre ce problème, je suis un peu perdue.

Merci d’avance

I Vous avez vu que :

Th : il existe une infinité de nombre premiers

Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la suite.

Fn= 2 2n + 1 ( n ≥ 0)

1 Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?

2 Démontrer, par récurrence, que :

pour tout entier non nul, Fn -2 = F0 F1….F M-1

3 Montrer que : pour m ≠n, pgcd (Fm, Fn) = 1

4 En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers (Soyez rigoureux )

II Une conjecture de Fermat :

1 Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?

2 Allez un peu de courage… A vos calculatrices ( Fermat n’en avait pas)

Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail

3 Et pour F5 ? Et les suivants ?

Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?

Qu’en pensez vous ?

III Un théorème d’Euler

TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres premiers de la forme : 2 N+1 + 1, n étant un entier naturel.

Evidemment, nous allons le démontrer !

Soit p un diviseur de Fn= 2 2n + 1

1 Soit{ E = k Є N */ 2 k ≡ [p] }

a. Pourquoi E est –il non vide ?

b. on en déduit que E admet .. …. ….. ……. d

c. on cherche à montrer que tout élément de E est un multiple de d

Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d

En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la division euclidienne précédente est nul.

d. En déduire qu’il existe un entier n tel que : p – 1= d n

2 a . quoi est congru 2^2^m modulo p ?

d divise t-il 2^m ?

b. quoi est congru 2^2^ m+1 modulo p ? ( indication : on pourra calculer (2^2^m)^2 et utiliser la question précédente )

d divise t –il 2^ m+1

c. En déduire d

3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu’il existe au moins un entier premier de la forme désirée

4. En déduire qu’il en existe une infinité (c’est très facile mais je vous aide : « tout nombre s’écrivant de la forme 2^ m+1+k h+1 est aussi de la f …. )

5. quelques conséquences (expliquer rapidement )

a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!

b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1

c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 …

IV Un cas particulier, très intéressant m=5

Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n’était pas sur que F5 était premier.

Alors, d’après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers possibles.

1. De quelles formes sont-ils ?

2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )

3. F5 est – il ou n’est –il pas ?

4. Vérifier que l’autre facteur est bien de la forme attendue

[maud976]

PS: J’ ai fais les deux premières parties… Pourriez vous m’aider à résoudre les parties III et IV du problème…

Merci d’avance

[philippe]

bonjour,

tu peux mieux expliquer stp:

{ E = k Є N */ 2 k ≡ [p] }

b.

un plus petit élément....

[maud976]

Oui, excusez c’est moi c’est plutot ceci :

E ={ k Є N */ 2 k ≡ [p] }

[philippe]

ça je pensais l'avoir mais c'est donc:

l'ensemble des k tels que 2k est congru à p modulo quoi

ou bien l'ensemble des k tq 2k congru à qq chose modulo p?

[maud976]

Oui, excusez c’est moi c’est plutot ceci :

E ={ k Є N */ 2 k ≡ 1[p] }

ps: Je suis vraiment désolée...

[philippe]

III.1c.

k est dans E, d est dans E (plus petit élt)

il existe u,v tq k=ud+v et 0<=u<d

pour montrer que tt élt de E est multiple de d, montre que v=0

III.1d.

cette question signifierait que p-1 serait dans E.

par suite avec la question précédente, il serait clair que (puisque tout élt de E est multiple de d) il existe n tq : p-1=dn

voyons si p-1 est dans E.

p-1 est dans E si 2(p-1)=1[p]

or

2(p-1)=2p-2[p]=0-2[p]

et

-2=1[p] donne 3=0[p]

cad 3 est multiple de p... donc p=1 ou 3...

le bas blesse!!! ou je ne suis pas réveillé!

[maud976]

Bonjour,

tout d’abord merci pour votre aide…

Sinon je me suis aperçu qu’il manquait des parenthèses donc voici le sujet avec les parenthèses.

3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu’il existe au moins un entier premier de la forme désirée

4. En déduire qu’il en existe une infinité (c’est très facile mais je vous aide : « tout nombre s’écrivant de la forme 2^ (m+1+k) h+1 est aussi de la f …. )

5. quelques conséquences (expliquer rapidement )

a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!

b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1

c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 …

IV Un cas particulier, très intéressant m=5

Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n’était pas sur que F5 était premier. Alors, d’après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers possibles.

1. De quelles formes sont-ils ?

2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit être premier )

3. F5 est – il ou n’est –il pas ?

4. Vérifier que l’autre facteur est bien de la forme attendue

[maud976]

Et re-voila le sujet..

Merci encore pour votre aide...

III Un théorème d’Euler

TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres premiers de la forme, 2 ^(M+1) n + 1, n étant un entier naturel.

Evidemment, nous allons le démontrer !

Soit p un diviseur de Fm= 2^ 2^m + 1

1 Soit E ={ k Є N */ 2 k ≡ 1[p] }

a. Pourquoi E est –il non vide ?

b. on en déduit que E admet .. …. ….. ……. d

c. on cherche à montrer que tout élément de E est un multiple de d

Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d

En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la division euclidienne précédente est nul.

d. En déduire qu’il existe un entier n tel que : p – 1= d n

2 a . quoi est congru 2^2^m modulo p ?

d divise t-il 2^m ?

b. quoi est congru 2^2^ m+1 modulo p ? ( indication : on pourra calculer (2^2^m)^2 et utiliser la question précédente )

d divise t –il 2^ m+1

c. En déduire d

3. déduire de 1. d. et de 2. c. qu’il existe au moins un entier premier de la forme désirée

4. En déduire qu’il en existe une infinité (c’est très facile mais je vous aide : « tout nombre s’écrivant de la forme 2^ (m+1+k h+1) est aussi de la f …. )

5. quelques conséquences (expliquer rapidement )

a .il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!

b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1

c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 …

IV Un cas particulier, très intéressant m=5

Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n’était pas sur que F5 était premier.

Alors, d’après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers possibles.

1. De quelles formes sont-ils ?

2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )

3. F5 est – il ou n’est –il pas ?

4. Vérifier que l’autre facteur est bien de la forme attendue