Dm Terminale S Spé Maths

[Solene77]

Bonjour j'ai un dm de spé maths à rendre pour demain et je suis complétement bloquer, je n'arrive malheureusement à faire aucune question des deux exercices. Si quelqu'un pouvez m'aider ça serais super.

Exercice 1 :

On rappelle le principe du chiffrement affine :

-on numérote les 26 lettres de l'alphabet de 0 (pour A) à 25 (pour Z) ;

-on calcule les images de ces 26 entiers par une fonction affine f(x)=ax+b avec a et b entiers naturels et a 0 ;

-on prend les restes des images dans la division euclidienne par 26 ;

-on remplace les lettres initiales par celles qui correspondent aux numéros données par les restes.

Le couple (a,b) est la clé secrète du codage.

1.Démontrer que, si a et 26 sont premiers entre eux, alors la clé (a,b) est satisfaisante.

Coup de pouce : Utiliser le théorème de Gauss.

Dans mes questions suivante, on considère une clé (a,b) tel que a et 26 sont premiers entre eux.

2.Montrer qu'il existe un entier relatif u tel que au est congru à 1 modulo 26.

Coup de pouce : utiliser le théorème de Bézout.

3.Montrer que : si y est congru à ax+b modulo 26 alors x est congru à uy-bu modulo 26. En déduire une fonction affine permettant de lire un message codé.

4.Déterminer une fonction de déchiffrement associé à la clé (11,8), puis lire le message "IFA EAYIN" qui a été codé en utilisant la clé (11,8).

Exercice 2 :

Pour tout entier naturel non nul n, on note D le pgcd des entiers n +n et 2n+1.

A.Conjectures

C'est la seule partie que j'ai réussie.

B.Demonstration

1.Soit d un diviseur commun à n +n et 2n+1.

a. Montrer que, puisque d divise 2n+1, d et n sont premiers entre eux.

b. En déduire que d divise n²+1.

c. Calculer 4(n²+1)-(2n-1)(2n+1). j'ai fait cette question.

d. Montrer que D appartient à {1;5}

2. a. Soit n=5k+2 où k est un entier relatif. Montrer que 5 divise n²+1 et 2n+1. En déduire que D=5.

b. Réciproquement, on suppose que D=5 ; montrer qu'il existe un entier relatif k tel que n=5k+2.

Merci beaucoup à ceux qui pourront m'aider.

[Solene77]

Vraiment personne ?