Dm De Spé: Histoire D'une Conjecture De Fermat ...

[maud976]

Bonjour,

Tout d’abord merci de me consacrer un peu de votre temps.

Pourriez vous m’aider à résoudre ce problème, je suis un peu perdue même totalement perdue.

Merci d’avance

I Vous avez vu que :

Th : il existe une infinité de nombre premiers

Nous allons démontrer par la méthode de HURWITZ utilisant les nombres de Fermat. Les nombres de Fermat sont les entiers de la forme .

Fn =2^(2^n) +1 ( n ≥ 0)

1. Calculer F0, F1 , F2 , F3, F4, et F5 ?

2 .Démontrer, par récurrence, que :

pour tout entier m non nul, Fm -2 = F0 F1….F m-1

3. Montrer que : pour m ≠n, pgcd (Fm, Fn) = 1

4. En déduire qu’il existe une infinité de nombres rigoureux (Soyez rigoureux )

II Une conjecture de Fermat :

1. Que peut on dire de F0, F1, F2 et F3 ?

2. Allez un peu de courage… A vos calculatrices ( Fermat n’en avait pas)

Que peut on dire de F4 ? Expliquer votre travail

3. Et pour F5 ? Et les suivants ?

Quelle fut, à votre avis, la conjecture de Fermat ?

Qu’en pensez vous ?

III Un théorème d’Euler

TH : pour tout entier naturel m, il existe une infinité de nombres premiers de la forme : 2 ^(m+1) n + 1, n étant un entier naturel.

Evidemment, nous allons le démontrer !

Soit p un diviseur de Fn =2^(2^n) +1

1 Soit E ={ k Є N */ 2 ^k ≡ 1 [p] }

a. Pourquoi E est –il non vide ?

b. on en déduit que E admet .. …. ….. ……. d

c. on cherche à montrer que tout élément de E est multiple de d

Soit k un élément de E. Ecrire la division euclidienne de k par d

En examinant quelques congruences modulo p, montrer que le reste de la division euclidienne précédente est nul.

Conclure

d. En déduire qu’il existe un entier n tel que : p – 1= d n

2 a . A quoi est congru 2^2^m modulo p ?

d divise t-il 2^m ?

b. A quoi est congru 2^2 ^(m+1) modulo p ? ( indication : on pourra calculer (2^(2 ^m))^2 et utiliser la question précédente )

d divise t –il 2 ^ (m+1)

c. En déduire d

3. déduire de 1 d et de 2 c qu’il existe au moins un entier premier de la forme désirée

4. En déduire qu’il en existe une infinité (c’est très facile mais je vous aide : « tout nombre s’écrivant de la forme 2^( m+1+k) h+1 est aussi de la f …. )

5. quelques conséquences (expliquer rapidement )

a. il existe une infinité de nombres premiers impair !!!!

b. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n+1

c. il existe une infinité de nombres premiers de la forme 8 n +1 …

IV Un cas particulier, très intéressant m=5

Euler doutait de la conjecture de Fermat ; il n’était pas sur que F5 soit premier.

Alors, d’après ce qui précède, il cherche des diviseurs premiers possibles.

1. De quelles formes sont-ils ?

2. Donner les 5 premières valeurs de p possibles (p doit etre premier )

3. F5 est – il ou n’est –il pas ?

4. Vérifier que l’autre facteur est bien de la forme attendue

ps: Si vous voulez je peux le "reposter" en joignant le devoir en tant que piéce jointe.