Bactéries

[christ01]

J'ai un peu de mal à résoudre cet exercice, pouvez-vous m'aider?

Merci d'avance

Le milieu étant limité (en volume, en élément nutritifs...), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s'appliquer sur une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la population de bactéries de la façon suivante:

soit g(t) est le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en millions d'individus) ; la fonction g est une fonction strictement positive et dérivable sur [0 ; +infini[ qui vérifie pour tout t de [0 ; +infini[ la relation:

(E) g'(t)=ag(t){1-(g(t)/M)},

où M est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales et A le réel défini dans la partie A

1.a. Démontrer que si g est une fonction strictement positive vérifiant la relation (E), alors la fonction 1/g est solution de l'équation différentielle (E') : y'+ay=a/M

b. Résoudre (E')

c. Démontrer que si h est une solution strictement positive de (E'), alors 1/h vérifie (E).

2. On suppose désormais que, pour tout réel positif t, g(t)=M/(1+Ce^-at) , où C est une constante strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expérimentales.

a. Déterminer la limite de g en +infini et démontrer, pour tout réel t positif ou nul, la double inégalité : 0<g(t)<M.

b. Etudier le sens de variation de g (on pourra utiliser la relation (E)).

Démontrer qu'il existe un réel unique t0 positif tel que g(t0)=M/2.

c. Démontrer que g''= a(1-(2g/M))g'. Etudier le signe de g''. En déduire que la vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissante à partir de l'instant t0 défini ci-dessus.

Exprimer t0 en fonction de a et C.