exercice math logarithme

rédouanne · le 4 avril 2012

bonjour

j'ai un exercice sur les logarithme avec suite pouvez vous m'aidez svp.

Voici l'exercice:

On considère la fonction définie sur l'intervalle ]-1 ; +oo[ par : f(x) = x - ln(1+x) /1+x

La courbe C représentative de f est donnée sur le document ci-dessous que l'on complètera.

/applications/core/interface/file/attachment.php?id=11068">graphique devoir.doc

Partie A : Etude de certaines propriétés de la courbe C

1. On note f' la fonction dérivée de f . Calculer f'(x) pour tout x de l'intervalle ]-1 ; +oo[.

2. Pour tout x de l'intervalle ]-1 ; +oo[, on pose N(x) = (1+x)² - 1+ln (1+x) .

Vérifier que l'on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ]-1 ; +oo[.

Calculer N(0). En déduire les variations de f .

3. Soit la droite d'équation y = x.

Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe C et de la droite D .

Partie B : Etude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction f

1. Démontrer que si x appartient a [0;4] , alors f(x) apparient a [0;4].

2. On considère la suite (un) définie par : u0 = 4 et un+1 = f(un) pour tout n de N.

a) Sur le graphique, en utilisant la courbe C et la droite D , placer les points de C d'abscisses u0, u1, u2 et u3.

b) Démontrer que pour tout n de N on a un appartient a [ 0;4]

c) Etudier la monotonie de la suite (un).

d) Démontrer que la suite (un) est convergente. On désigne par l sa limite.

e) Utiliser la partie A pour donner la valeur de l.

merci

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