exercice sur les suites

[jean luc]

bonjour

j'ai un exercice en math que je ne comprend pas pouvez vous m'aidez svp.

Voici l'exercice:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O,u,v). L'unité graphique est 4 cm.

Soit lambda un nombre complexe non nul et différent de 1.

On définit, pour tout entier naturel n, la suite (zn) de nombres complexes par :z0=0 et zn+1 = lambda zn + i

On note Mn le point d'affixe zn

1. Calcul de zn en fonction de n et de lambda.

a) Vérifier les égalités : z1 = i ; z2= ( lambda +1)i ; z3= ( lambda² +lambda +1)i.

b) Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul : zn= ((lambda^n -1) / (lambda - 1))*i.

2. Etude du cas lambda = i.

a) Montrer que z4=0.

b) Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1 en fonction de zn.

c) Montrer que Mn+1 est l'image de Mn par une rotation dont on précisera le centre et l'angle.

d) Représenter les points M0 , M1 ; M2 ;M3 et M4 dans le repère (O,u,v).

3. Caractérisation de certaines suites (zn).

a) On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que lambda^k = 1.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a l'égalité : zn+k = zn.

b) Réciproquement, monter que s'il existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n on ait l'égalité zn+k = en alors : lambda^k = 1.

merci

[jean luc]

Pouvez vous m'aidez svp.