Exercice, fonctions

[elisaa69]

Bonjour, je ne parviens pas à faire mon exercice... Voilà l'énoncé:

Soit la fonction définie sur ]-∞ ; +∞[ par f(x)=x- 3x.

1. Soit a et b deux réels. Montrer que f(b)-f(a)=(b-a)(a²+ab+b²-3-.

2. A l'aide des propriétés des inégalités, déterminer le signe de a²+ab+b²-3 dans les cas suivants:

a) a>1 et b>1

b) 0≤a≤1 et 0≤b≤1

c) -1≤a≤0 et -1≤b≤0

d) a<-1 et b<-1

Voilà, c'est assez urgent... Merci d'avance de m'aider!

[Papy BERNIE]

Bonjour,

1)

f(b)-f(a)=(b³-3b)-(a³-3a)=b³-3b-a³+3a=3a-3b+b³-a³

On utilise l''identité remarquable :

b³-a³=(b-a)(b²+ab+a²)

Donc :

f(b)-f(a)=-3(b-a)+(b-a)(b²+ab+a²)

f(b)-f(a)=(b-a)(a²+ab+b²-3)

Tu peux aussi partir de : (b-a)(a²+ab+b²-3) puis développer cette expression et retrouver :

3a-3b+b³-a³

J'envoie et je regarde la suite.

[elisaa69]

Ah oui, j'ai bloqué à l'identité remarquable, je n'avais pas vu qu'il fallait en utiliser une...

Merci beaucoup de m'aider, je trouve que l'exercice est vraiment compliqué

[Papy BERNIE]

2)

a) a > 1 et b >1

On va supposer aussi a < b donc on a : 1 < a < b .

Comme a < b alors le facteur (a-b) > 0 ( positif).

a > 1 donc a² > 1

b > 1 donc b² > 1

a > 1 et b > 1 donc ab > 1.

Donc a²+ab+b² > 3

Donc : a²+ab+b²-3 > 0.

Le 2ème facteur est aussi > 0 ( positif).

Donc avec a > 1 et b > 1 , on f(b)-f(a) > 0 soit f(a) < f(b).

On est parti de a < b pour arriver à f(a) < f(b).

Or :

f est strictement croissante si pour a < b ds un intervalle donné on a f(a) < f(b) .

Donc sur ]1;+infini[ , f(x) est croissante.

b)

On part tjrs de a < b et l'intervalle imposé donne :

0 << a < b << 1 : pour moi , << remplace < ou = . OK ?

Comme a < b , on a tjrs (b-a) > 0.

0 << a << 1 donne : 0 << a² << 1

0 << b << 1 donne : 0 << b² << 1

et : 0 << ab << 1

Donc : a²+ab+b² << 3

Donc : a²+ab+b²-3 << 0

Le 1er facteur est positif et le 2ème est négatif ou nul donc :

f(b)-f(a) << 0 soit f(a) >> f(b).

On est parti de a < b pour arriver à : f(a) >> f(b)

On applique :

f est décroissante si pour a < b ds un intervalle donné on a f(a) >> f(b)

Donc sur [0;1] f(x) est décroissante.

c)

-1 << a < b << 0

On a tjrs ( b-a) > 0

-1 << a << 0 donne : 0 << a² << 1 et de même on aura : 0 << b² << 1

et ab << 1 ( car "a" et "b" étant tous deux négatifs , leur produit est positif).

Donc : a²+ab+b² << 3

donc : a²+ab+b²-3 << 0.

Conclusion identique à b)

d)

a < b < -1

On a tjrs (b-a) > 0.

a < -1 donne : a² > 1 ( Regarde la parabole y=x² si tu ne comprends pas).

b < -1 donne b² > 1

et le prouduit des 2 nbs négatifs "a" et "b" donne un nb positif qui est > 1. Donc : ab >1.

Donc : a²+ab+b² > 3

Soit : a²+ab+b²-3 > 0

Les 2 facteurs sont positifs donc :

f(b) -f(a) > 0 soit f(a) < f(b).

On part de a < b et on arrive à f(a) < f(b).

Même conclusion qu'au a).

Mais je m'aperçois que l'on ne te demandait que le signe de : a²+ab+b²-3 !!

A moins que tu n'aies pas mis tout l'énoncé ?

Je te joins le graph qui confirme ce que j'ai écrit . Il semble que l'on ne te le demande pas.

[elisaa69]

Merci beaucoup!!

J'ai également un autre exercice que j'ai réussi, mais il y a les questions 2 et 3 que je ne sais pas comment rédiger...

C'est:

Soit la fonction définie sur ]-∞ ; 3[ U ]3 ; +∞[ par f(x)=4+(2/(x-3)).

1. Soit a et b deux réels. Montrer que f(b)-f(a)=(2(a-b))/((a-3)(b-3)).

2. Quel est le signe de f(b)-f(a) quand 3<a<b?

3. En déduire le sens de variation de f sur ]3 ; +∞[.

J'ai mis:

2. Comme 3<a<b, alors (a-3) est positif, (b-3) est positif et comme a<b, alors (a-b) sera négatif. Or, un nombre négatif divisé par un nombre positif donnera un nombre négatif. Donc f(b)-f(a) est négatif.

3. Comme f(b)-f(a) est négatif, alors f est décoissante

[Papy BERNIE]

Pour la 2) : OK.

Pour la 3) :

On a vu en 2) que f(b)-f(a) < 0 donc f(a) > f(b).

On est parti de a < b et on a montré que f(a) > f(b).

Or :

f est strictement décroissante si pour a < b ds un intervalle donné on a f(a) > f(b)

Donc sur ]3;+inf[ , f(x) est décroissante.

Bonne continuation : tu te débrouilles bien !

[elisaa69]

Merci beaucoup! Bonne journée