Devoir Maison (urgent)

[Christophe]

pourquoi des objets usuels sont-ils fabriqués selon les proportions, quelles que soient leurs dimensions ? Vous-êtes vous demandés, par exemple, pourquoi la hauteur d'une casserole est approximativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance ?

Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant :

comment fabriquer une casserole de volume donné "v" avec le moins de métal possible, donc en réduisant le prix de fabrication ? (On suppose que le prix de revient du marché ne dépend pas des dimensions de la casserole).

Désignons par "x" le rayon du cercle formant le fond et par "h" la hauteur de la casserole. On note S(x) l'aire totale : aire latérale + aire du fond

1) montrer que : h=v/pi x²

2) montrer que : S(x)=pi x² + 2v/x

3) calculer S'(x) et montrer que la dérivée s'annule quand x³=v/pi

4) montrer que si x³=v/pi, alors x=h

5) montrer que S'(x) change de signe quand x=h et que cette valeur correspond à un minimum sur [0; + infini [

6) quelle conclusion peut-on déduire du résultat précédent?

Merci pour votre aide précieuse

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