Exercice Logarithe Népérien

[Floby]

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour cet exercice, la partie A est faite, je bloque à la partie B

[Papy BERNIE]

Bonjour,

Partie B :

1)

a)

ln(x)/x peut s'écrire ln(x)*1/x

lim ln(x)=-infini

x-->0+

lim ln(1/x)=+infini

x-->0+

Par produit :

lim ln(x)/x=-infini

x-->0+

lim 2x=0

x-->0

Par somme :

lim f(x)=-infini

x-->0+

b)

Ce qui prouve que la droite d'équation x=0 ( axe des ordonnées ) est asymptote en -infini.

Je vois la suite.

[Papy BERNIE]

2)

a)

le cours dit que :

En +infini , la fct puissance de x l'emporte sur la fonction Ln.

Donc :

lim ln(x)/x=0

x--->+inf

Ici , le "x" au déno est à la puissance 1 , mais la règle s'applique quand même.

lim 2x=+inf

x-->+inf

Par somme :

lim f(x)=+infini

x-->+inf

b)

lim f(x)-(2x-3)=lim 4*(ln(x)/x)

x-->+inf

On a vu que :

lim ln(x)/x=0

x--->+inf

Donc :

lim f(x)-(2x-3)=0

x-->+inf

Ce qui prouve que la droite y=2x-3 est asymptote oblique à Cf en +infini.

c)

Il nous faut étudier le signe de :

lim f(x)-(2x+3) donc le signe de : 4*(ln(x)/x)

donc le signe de ln(x)/x

Sur ]0;+inf[ , le déno "x" est tjrs positif donc :

ln(x)/x est du signe de ln(x).

Or :

Sur ]0;1[ , on sait que ln(x) < 0

et sur ]1;+inf[ , ln (x) > 0.

Donc :

Sur ]0;1[ , f(x)-(2x-3) < 0 donc f(x) < 2x-3 donc Cf est au-dessous de D.

et sur ]1;+inf[ , f(x)-(2x-3) > 0 donc f(x) > 2x-3 donc Cf est au-dessus de D.

[Papy BERNIE]

3)

ln(x)/x est de la forme u/v avec :

u=ln(x) donc u '=1/x

v=x donc v'=1

(u'v-uv')/v² donne : (1-ln(x))/x²

Donc :

f '(x)=2 +4(1-ln(x))/x²

Réduc au même déno :

f '(x)=(2x²+4-4ln(x))/x²=g(x)/x²

4)

Le déno de f '(x) est positif sur ]0;+inf[ donc f '(x) est du signe de g(x) qui a été établi au 3) de la partie A.

Tu vas donc faire un tableau de variation avec f(x) tjrs croissante et indiquer les limites en 0 et +infini.

5)

f(1)=-1

f(2)=1+2ln2 qui est > 0.

La fct f(x) est continue et strictement croissante sur [1;2] avec f(1)=-1 et f(2)=1+2ln2 qui est positif. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel "a" dans [1;2] tel que f(a)=0.

b) Tu entres ta fct dans ta calculatrice et tu cherches.

6)

La droite D a pour coeff directeur : 2.

Donc on résout :

f '(x)=2

soit :

2 +4(1-ln(x))/x²=2

soit :

4(1-ln(x))/x²=0

soit :

1-lnx=0

Je te laisse trouver que la solution est x=...

Le graph que tu dois avoir :

[Floby]

Merci beaucoup pour l'aide !

[Papy BERNIE]

Mais je t'en prie !