Méthode D'euler

[chocali]

Bonjour j'aimerais que l'on m'aide pour ses exercices sur tableur :

Exercice 1 : Soit f la fonction définie sur ]0;+infinie[ par f(x)= 1/x.

On considère F, primitive de f vérifiant F(1)=0

1) En utilisant la méthode d'Euler et en prenant 0,01 comme pas, on peut visualiser la courbe approximative de F sur [1;4].

Définir les suites (xn) et (yn) obtenues par cette méthode.

A l'aide du tableur, visualiser la courbe approximative de F obtenue.

2) Soit G une autre primitive de f. On suppose dans un premier temps que G(1)=5. A l'aide du tableur et de la méthode d'Euler, représenter sur un même graphique les courbes approximatives de F et de G sur l'intervalle [1;4].

Modifier plusieurs fois la valeur de G(1). Que peut-on dire des courbes obtenues ?

Quel résultat visualise-t-on ainsi ?

3) Dans chacun des cas suivant, visualiser ànl'aide de la méthode d'Euler la courbe représentative approchée de la primitive F de f vérifiant la condition initiale donnée.

a) f : x-> 1 / (1+x+x²) sur [0;5] et F(0)=1

b) f : x-> sqrt (x²+1) sur [0;2] et F(0)=0

Exercice 2 : On cherche une fonction g dérivable sur [0;1] et vérifiant g' = -2g² et g(0)= -1/4

1) En utilisant la méthode d'Euler, visualiser une approximation de la courbe de la fonction g.

2) Démontrer que g est décroissante sur [0;1]. En déduire que g ne s'annule pas sur [0;1], et que pour tout réel x de l'intervalle [0;1] on a g' (x) / g² (x) = -2

3) Exprimer 1/g(x) en fonction de x et en déduire l'expression de g(x).

Exercice 3 :

1) On considère une fonction f définie sur R et qui vérifie : f(0)=1 et f ' =f.

a) Un pas h étant fixé, définir les suites (xn) et (yn) obtenues par la méthode d'Euler :

x₀=0 et x_n+1= x₀+h

y₀=f(0) et y_n+1=yn+h*f ' (xn)

b) Utiliser le tableur pour visualiser la courbe approchée de f sur [0;3].

On choisira dans un premier temps un pas égal à 0,2.

Modifier ensuite la valeur du pas : h=0,1 et recommencer en prenant h=0,0..

c) Donner à h la valeur -0,1. Qu'obtient-on ?

La fonction définie sur R vérifiant f(0)=1 et f ' =f, dont vous venez de construire une représentation graphique approchée est appelée fonction exponentielle.

2) Equation différentielle du type y' = ay + b.

On considère une fonction g qui vérifie l'équation différentielle y' = 2y + 3 et vérifiant la condition initiale g(0)=1.

a) Un pas h étant fixé, définir les suites (xn) et (yn) obtenues par la méthode d'Euler :

x₀=... et x_n+1=...

y₀=... et y_n+1=...

b) Utiliser le tableur pour visualiser la courbe approchée de g sur [0;2]. On choisira un pas égal à 0,01.

Merci à tous ceux qui pourront me répondre.