Derivation

[nathtiti]

Bonjour,

j'ai un exercice à rendre demain....et je voudrai savoir si c'est bon !!!!!

Merci !!!!!!!!!!! pour votre aide

N° 90

1 : f(x)=(x^3-2)/(x+4)

La fonction f est une fonction rationnelle donc x+4 0, d'où x -4.

La fonction f est donc dérivable et définie sur R \ (-4). Elle est donc bien dérivable sur I.

Quelque soit la valeur de x appartenant à I , f ' (x) = (3x^2 (x+4) - (x^3 - 2) 1) / (x+4)^2 = (3x^3 + 12x^2 - x^3+2) / (x+4)^2 = (2x^3 + 12x^2 + 2) / (x+4)^2

2 : g(x) = 2x^3+12x^2+2

La fonction g est une fonction polynôme du second degré.

On sait que a>0 ( ici a=2) donc g est strictement décroissant sur ]- ; -b/2a] et strictement croissant sur [-b/2a ; [

-b/2a = -3

Quelque soit la valeur de x appartenant à I, g est strictement décroissant sur ]-4 ; -3] et strictement croissant sur [ - 3 ; [

= b^2 - 4ac = 128

Donc >0 alors Quelque soit la valeur de x appartenant à I, g(x) est du signe de a donc g(x) > 0

3 : f ' (x) = (2x^3+12x^2+2) / (x+4)^2

Quelque soit la valeur de x appartenant à I, 2x^3+12x^2+2 > 0

Donc f ' (x) dépend de (x+4)^2

Or Quelque soit la valeur de x appartenant à I, x+4 0, donc (x+4)^2 >0, donc f ' (x) >0

f ' (x) >0 sur I donc f(x) est strictement croissant sur I

[Boltzmann_Solver]

Bonjour nathiti,

1) Non, c'est pas bon !

Sur ]-4,+inf[, la fonction f est définie, continue et dérivable comme somme et quotient de polynômes définies sur R dont le dénominateur ne s’annule pas sur I. En effet, pour tout x > -4, x+4 > 0.

Le calcul de la dérivée est correct. Par contre, tu aurais pu factoriser par 2. Cela dit, vu la suite du sujet, je comprends que tu aies laissé la dérivée ainsi.

2) g(x) est du TROISIEME degré ! Donc, tu dois étudier g(x) (dérivée, tableau de variation, etc...). A revoir.

3) C'est pas bon, tu dois écrire que f'(x) = g(x)/(x+4)². Comme (x+4)² > 0 sur I, le signe de f'(x) est donné par celui de g(x).

Or, on a montré en 2) que sur I, g(x) > 0, donc,

* f'(x) > 0 sur I.

* la fonction f(x) est croissante sur I.

[nathtiti]

Merci....je vais reprendre l'exo !!!!!

[Boltzmann_Solver]

Merci....je vais reprendre l'exo !!!!!

[nathtiti]

2 :

g ' (x) = 6x^2+24x

Or g'(x) s'annule en 0 et est strictement croissant sur I donc la fonction g est positif sur I

PS : je n'arrive pas en mettre le tableau de variation sur le site ....

[Boltzmann_Solver]

Ca n'est pas logique !

Que peux tu dire que la dérivée et du signe de la dérivée de g(x) ?

[nathtiti]

g'(x) = 6x^2 + 24x

g'(x) admet 2 racines évidentes 0 et -4

Donc g'(x) est du signe de -a quand x appartient à l'intervale des racines et g'(x) est du signe de a quand x n'appartient pas à l'intervale des racines .

Donc g(x) est positif ou nul sur [-4 ;+ [

alors g(x) est strictement positif sur I

[Boltzmann_Solver]

g'(x) = 6x^2 + 24x

g'(x) admet 2 racines évidentes 0 et -4

Donc g'(x) est du signe de -a quand x appartient à l'intervale des racines et g'(x) est du signe de a quand x n'appartient pas à l'intervale des racines .

-----------------------------------------

Donc g(x) est positif ou nul sur [-4 ;+ [

alors g(x) est strictement positif sur I

[nathtiti]

g'(x) = 6x^2 + 24x

g'(x) admet 2 racines évidentes 0 et -4

Donc g'(x) est négatif quand x appartient à l'intervale des racines et g'(x) est positif quand x n'appartient pas à l'intervale des racines .

Donc la fonction g est croissante sur ]- ; -4], décroissante sur [-4 ; 0] puis croissante sur [0 ; + [

x - -4 0 +

g'(x) + 0 - 0 +

g(x) croissant décroissant croissant

Or g(-4) = 66 et g(0) = 2

Donc g(x) est strictement positif sur l'intervale I

[Boltzmann_Solver]

g'(x) = 6x^2 + 24x

g'(x) admet 2 racines évidentes 0 et -4

Donc g'(x) est négatif quand x appartient à l'intervale des racines et g'(x) est positif quand x n'appartient pas à l'intervale des racines .

Donc la fonction g est croissante sur ]- ; -4],(f n'est pas définie !), décroissante sur [-4 ; 0] puis croissante sur [0 ; +[ OUI !!!!

x - -4 0 +

g'(x) + 0 - 0 +

g(x) croissant décroissant croissant

Donc, le minimum global de g sur I est atteint en g(0) = 2 => Pour tout x de I, g(x) => 2.

Donc, g(x) est strictement positif sur I.

Or g(-4) = 66 et g(0) = 2

Donc g(x) est strictement positif sur l'intervale I

Pas faux mais pas logique encore.

[nathtiti]

Ok merci je rectifie tout sa !!!

[Boltzmann_Solver]

Ok merci je rectifie tout sa !!!