Dm De Spé Maths

[chocali]

Bonjour, j'aimerais que l'on m'aide à faire mon dm de spé maths :

Partie A : Soit N un entier naturel, impair non premier. On suppose que N = a² - b² où a et b sont deux entiers naturels.

1. Montrer que a et b n'ont pas la même parité.

2. Montrer que N peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels p et q.

N = a² - b² = (a + b)*(a - b)

3. Quelle est la parité de p et de q ?

Partie B : On admet que 250 507 n'est pas premier. On se propose de chercher des couples d'entiers naturels (a ; b) vérifiant la relation :

(E) : a² - 250 507 = b²

1. Soit X un entier naturel.

a) Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9; puis ceux de X² modulo 9.

X (mod 9).....1...2...3...4...5...6...7...8

X (mod 9)....1...2...3...4...5...6...7...8

X² (mod 9)...1...4...0...7...7...0...4...1

b) Sachant que a² - 250 507 = b² , déterminer les restes possibles modulo 9 de a² - 250 507 ; en déduire les restes possibles modulo 9 de a².

c) Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.

2. Justifier que si le couple (a ; b) vérifie la relation (E), alors a => 501. Montrer qu'il n'existe pas de solution de type (501 ; b).

3. On suppose que le couple (a ; b) vérifie la relation (E).

a) Démontrer que a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.

b) Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505 + 9k ; b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.

Partie C :

1. Déduire des parties précédentes une écriture de 250 507 en un produit de deux facteurs positifs autres que 1.

2. Les deux facteurs sont-ils premiers ? Justifier.

3. Cette écriture est-elle unique ?

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.