Grand Exercice Nombres Complexes

[Tite_Ma]

Bonjour tout le monde

Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormal direct ( O, u, v), d'unité 2 cm, on considère les points A,B,C, et D d'affixes respectives :

za = -i, zb = 3, zc = 2 + 3i, zd = -1 + 2i

2a : Interpréter géométriquement le module et un argument du complexe ( zc - za ) / ( zb - zb)

b : Calculer le complexe ( zc - za ) / ( zd - zb )

3a : Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier

b : Calculer l'aire So du quadrilatère ABCD.

4a : Placer sur la figure précédente les points A1, B1, C1 et D1 tels que : vecteur DA1 = vecteur A1B1 = vecteur B1C, où A1 et B1 appartiennent à [DC], le quadrilatère A1B1C1D1 étant un carré situé à l’extérieur du quadrilatère ABCD

5a : On continu par le même procédé :

un carré AnBnCnDn étant déterminé, on considère les points :

An+1 ( c'est A indice n+1 ), Bn+1, Cn+1 et Dn+1

tels que vecteur DnAn+1 = vecteur An+1Bn+1 = vecteur Bn+1Cn

où les points An+1 et Bn+1 appartiennent à [DnCn], le quadrilatère An+1Bn+1Cn+1Dn+1 étant un carré situé à l'extremùité du quadrilatère AnBnCnDn.

Tracer le quadrilatère A2B2C2D2.

b : Soit Sn l'aire du carré AnBnCnDn.

Exprimer Sn+1 en fonction de Sn, puis de n.

c : Déterminer, en fonction de n, l'aire Sn de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés A1B1C1D1, A2B2C2D2, ....., et AnBnCnDn.

d : La suite (Sn) est elle convergente ?

Préciser sa limite si elle existe.