Devoir Urgent

[charlinette]

ABCD est un rectangle tel que AB=1, BC=2. M est un point de segment AB , segment AC et segment MD se coupent en I ; on pose AM=x, h la hauteur relative au segment AM dans le triangle AIM.

T est la somme des aires des triangles AIM et DIC

Le but du problème est de déterminer M pour que T soit minimale.

1) Quelles sont les valeurs possibles de x?

2) Montrer : h=x (2-h) ( pensez à thalès)

2x x²+1

3) En déduire : h= ------- et T= ----------

1+x x+1

x²+1

4) On appelle f la fonction définie sur (o,1) par f(x)= ---------

x+1

Calculer f'(x) et déterminer son signe sur (0,1) ; en déduire les variations de f et dresser son tableau de variation

5)Pour quelle valeur de x l'aire T est-elle minimale et quelle est cette aire : on donnera la valeur exacte et la valeur approchée à 0,001 près de chacune de ces valeurs

[kamikakushi]

Bonjour

S'il vous plaît

Merci

[Upsilon]

Salut Charlinette !

Je garantis pas que ce soit juste...

J'appelle J l'intersection de h et de x, y le segment AJ, z, le segment IJ.

1) x est compris entre 0 et 1

2) Je n'ai pas très bien compris la question mais je suppose qu'il s'agit d'exprimer h en fonction de x pour évacuer une des deux variables :

Dans un premier temps, exprimons y en fonction de h. Par Thalès appliqué aux segments parallèles h et BC, on a :

y/h = 1/2

y = h/2

Ce qui implique :

z = x-y = x-h/2 = (2x-h)/2

Par Thalès appliqué aux segments parallèles h et AD, on a :

2/x = h/z

Ce qui implique :

2/x = 2h/(2x-h)

4x-2h = 2xh

4x = 2xh+2h

4x = 2h(x+1)

Réponse :

h = 2x/(x+1)

3) Hauteur de DCI : h'

h' = 2-h = 2-(2x)/(x+1) = 2/(x+1)

T = Aire de AMI + Aire de DCI

T = (xh)/2 + h'/2 = x²/(x+1)+1/(x+1) = (x²+1)/(x+1)

Réponse :

T(x) = (x²+1)/(x+1)

Reste à étudier cette fonction pour en trouver les minima. On la dérive selon la règle du quotient :

T'(x) = [2x(x+1)-(x²+1)]/(x+1)² = (2x²+2x-x²-1)/(x+1)² = (x²+2x-1)/(x+1)²

Etudier le signe de cette expression revient à étudier le signe de x²+2x-1 car le dénominateur est toujours positif et ne modifie pas celui-ci.

Calculons le discriminant : 4-(-4) = 8

x = (-2±√8)/2 = -1±√2

Comme le signe est positif partout sauf entre les valeurs de x qui annulent l'expression :

x -1-√2 -1+√2

T'(x) + 0 - 0 +

T(x) cr. MAX décr. MIN cr.

(cr. = croissante, décr. = décroissante)

La fonction a donc un minimum en x = -1+√2 et comme cette valeur est effectivement comprise entre 0 et 1 comme l'exigeait le problème, on tient la solution.

[charlinette]

Je te remercie pour ton aide cela va m'être très utile.